Berechnen von Summen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit Hilfe des Bionominalsatzes folgende Summen.
(c) [mm] \summe_{k=1}^{n} k*\vektor{n \\ k}
[/mm]
Hinweis: Verwenden Sie in (c) [mm] k*\vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] n*\vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] (für n,k [mm] \in [/mm] N) |
Also der Binominalsatz ist ja
[mm] (a*b)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} a^k b^n-k
[/mm]
Aber ich habe keine Ahnung wie ich das in dieser Teilaufgabe anfangen soll. Aufgabe a und b waren relativ leicht zu lösen. Würde mich sehr über hilfe freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Catman,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie mit Hilfe des Bionominalsatzes folgende
> Summen.
>
> (c) [mm]\summe_{k=1}^{n} k*\vektor{n \\ k}[/mm]
>
> Hinweis: Verwenden Sie in (c) [mm]k*\vektor{n \\ k}[/mm] =
> [mm]n*\vektor{n-1 \\ k-1}[/mm] (für n,k [mm]\in[/mm] N)
> Also der Binominalsatz ist ja
>
> [mm](a*b)^n[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} a^k b^n-k[/mm]
>
> Aber ich habe keine Ahnung wie ich das in dieser
> Teilaufgabe anfangen soll. Aufgabe a und b waren relativ
> leicht zu lösen. Würde mich sehr über hilfe freuen.
>
Benutze zunächst den Hinweis um obige Summe anders darzustellen.
Verwende dann den Binomialsatz.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Catman |
Erst hatte ich überlegt, dass k als Faktor vor die Summe zu ziehen und dann die Lösung aus der ersten Teilaufgabe zu nehmen. (Diese war
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] und da kam [mm] 2^n [/mm] raus, weil ich davon ausgegangen bin, dass a und b 1 sind, wenn sie da nicht stehen, ich hoffe das ist Richtig). Aber dann ist mir aufgefallen, dass der Binominalsatz ja für k=0 ist und die Aufgabe bei k=1 beginnt. Was ist dann zutun?
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Hallo Catman,
> Erst hatte ich überlegt, dass k als Faktor vor die Summe
> zu ziehen
Das geht nicht, weil k ja nicht fest ist, sondern die Laufvariable der Summe!
> und dann die Lösung aus der ersten Teilaufgabe
> zu nehmen. (Diese war
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\
k}[/mm] und da kam [mm]2^n[/mm] raus, weil
> ich davon ausgegangen bin, dass a und b 1 sind, wenn sie da
> nicht stehen, ich hoffe das ist Richtig).
Das ist eigenartig formuliert, aber in der Tat stellt sich die Summe nach dem Binomialsatz so dar, wenn Du a=b=1 annimmst.
> Aber dann ist mir
> aufgefallen, dass der Binominalsatz ja für k=0 ist und die
> Aufgabe bei k=1 beginnt. Was ist dann zutun?
Verwende den Tipp! Dann kannst Du in der Tat schnell das Ergebnis der vorhergehenden Aufgabe verwenden.
Hier rechnet ein Kommilitone übrigens gerade die gleiche Aufgabe.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Catman |
Danke für den Tip.
Also ich hab jetzt eine Lösung und zwar:
Indexverschiebung:
0<=k-1<=n-1
Bezeichne: k-1=j
Dann folgt k=j+1 und damit
[mm] \vektor{n-1 \\ j+1+1} [/mm] = [mm] \vektor{n-1 \\ j}
[/mm]
Somit gilt:
n* [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n-1 \\ k-1} [/mm] = n* [mm] \summe_{j}^{n-1} \vektor{n-1 \\ j} [/mm] = [mm] n*2^n-1 [/mm] (mit Lösung von Teilaufgabe (a))
Ist das richtig so?
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Hallo Catman,
> Also ich hab jetzt eine Lösung und zwar:
>
> Indexverschiebung:
> 0<=k-1<=n-1
>
> Bezeichne: k-1=j
>
> Dann folgt k=j+1 und damit
>
> [mm]\vektor{n-1 \\
j+1+1}[/mm] = [mm]\vektor{n-1 \\
j}[/mm]
Da müsste links stehen j+1-1. Tippfehler?
> Somit gilt:
>
> n* [mm]\summe_{k=1}^{n} \vektor{n-1 \\
k-1}[/mm] = n*
> [mm]\summe_{j}^{n-1} \vektor{n-1 \\
j}[/mm] = [mm]n*2^n-1[/mm] (mit Lösung
> von Teilaufgabe (a))
>
> Ist das richtig so?
Das scheint mir auch nur ein LaTeX-Eingabefehler zu sein.
Die Lösung ist [mm] n2^{n-1}. [/mm] Meinst Du das?
Exponenten mit mehr als einem Zeichen müssen in geschweiften Klammern stehen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | | d) [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] 2^k [/mm] |
Ja das waren Tippfehler. Vielen Dank.
Also du meintest ja ich hätte meine Lösung bei der Teilaufgabe a seltsam formuliert. Bei der d ist das ähnlich, also ich hoffe, dass ich das einfach so machen darf. Ich schreib mal eben auf was ich getan habe. Könntest du mir sagen, ob das so korrekt ist?
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] 2^k
[/mm]
Daraus folgt a=2 und b=1
Mit [mm] (a+b)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] a^k [/mm] * [mm] b^{n-k}
[/mm]
Dann ist
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] * [mm] 2^k [/mm] = [mm] (2+1)^n [/mm] = [mm] 3^n
[/mm]
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Hallo,
> d) [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}[/mm] * [mm]2^k[/mm]
> Daraus folgt a=2 und b=1
>
> Mit [mm](a+b)^n[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}[/mm] * [mm]a^k[/mm] * [mm]b^{n-k}[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}[/mm] * [mm]2^k[/mm] = [mm](2+1)^n[/mm] = [mm]3^n[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
LG
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