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| Aufgabe | Seien K ein Körper, [mm] a,b\in{K} [/mm] und [mm] n\in\IN_0. [/mm]
Zeige, dass die [mm] (n+1)\times(n+1)-Matrix
[/mm]
[mm] A=(a_{ij})=\begin{cases} a, & \mbox{auf Hauptdiagonale}\\ b, & \mbox{sonst}\end{cases}
[/mm]
die Determinante [mm] \det(A)=(a+nb)(a-b)^n [/mm] besitzt. |
Guten Morgen,
ich habe schon alles probiert, um die Determinante zu berechnen. Aber ich verzettel mich immer. Irgendwie fehlt mir der richtige Lösungsweg.
Wie würdet ihr es also berechnen? Versuchen mit Gauß erst einmal auf Zeilenstufenform zu kommen? Oder immer die i-te Zeile von der (i+1)-ten Zeile subtrahieren, dann entwickeln?
Über zahlreiche Ideen freue ich mich!
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Hallo Richie,
spontane Idee: mache eine Mischung aus
- vollständiger Induktion
- Zeileunformungen mit dem Ziel, dass nur noch die Hauptdiagonale besetzt ist.
- Für eine nxn-Matrix kennst du dann deren Produkt, das ergibt die Induktionsvoraussetzung sozusagen.
- Jetzt muss man überlegen, vermittelst welcher Umformungen man die b's in der neu hinzugekommenen Zeile bzw. Spalte wegbekommt und was hierdurch mit dem Element [mm] a_{n+1,n+1} [/mm] passiert.
Ich stelle mal auf 'teilweise beantwortet'. Oder sollen wir eine Umfrage daraus machen? 
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Fr 16.05.2014 | | Autor: | hippias |
Mit ein bisschen scharf Hingucken erkennt man schnell, dass die Matrix diagonalisierbar ist: sie hat die EW [mm] $a+b+\ldots [/mm] +b= a+nb$ und, vielleicht weniger offensichtlich, $a-b$. Die EV sind ganz einfache Linearkombinationen der Standardbasisvektoren. Damit laesst sich die Determinante fast ohne Rechnung bestimmen.
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Hallo hippias,
vielen Dank für deine Antwort. Ich habe auch schon daran gedacht. Nur habe ich diesen scharfen Blick nicht, um die Eigenwerte zu erkennen.
Kannst du mir dazu vielleicht noch einen Hinweis geben?
An Diophant:
Ich habe auch schon daran gedacht, induktiv heran zugehen. Da kamen wir auch wieder die Blockmatrizen in den Sinn. Müsste ich mal weiter "beobachten", inwieweit man da auch einen grünen Zweig kommt. Danke für deinen Vorschlag.
Schönes Wochenende!
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> Nur habe ich diesen scharfen Blick nicht, um die
> Eigenwerte zu erkennen.
> Kannst du mir dazu vielleicht noch einen Hinweis geben?
Hallo,
die Matrix ist symmetrisch.
Also ist sie diagonalisierbar mit reellen Eigenwerten.
Die Determinante ist also das Produkt der Eigenwerte, und da liegt es schonmal ziemlich nahe zu vermuten, daß die Eigenwerte a+nb und a-b sind.
Jetzt hab' ich mal einen Versuchsballon gestartet und mich auf die Suche nach dazu passenden Eigenvektoren gemacht.
Den zu [mm] \lambda_1=a+nb [/mm] kann man schnell finden.
Überlege Dir, was Ax ergibt, dann hast Du sicher schnell einen EV gefunden.
Die n-1 Eigenvektoren zum EW [mm] \lambda_2=a-b [/mm] findest Du sicher auch fix, wenn Du erstmal Ax dastehen hast.
Naja, und wenn Du soweit bist, daß Du eine Basis aus Eigenvektoren hast, bist Du ja so gut wie fertig.
Du kennst die Diagonalmatrix und damit die Determinante.
LG Angela
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> An Diophant:
> Ich habe auch schon daran gedacht, induktiv heran zugehen.
> Da kamen wir auch wieder die Blockmatrizen in den Sinn.
> Müsste ich mal weiter "beobachten", inwieweit man da auch
> einen grünen Zweig kommt. Danke für deinen Vorschlag.
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> Schönes Wochenende!
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