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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Sa 24.07.2010 | | Autor: | Verdeg |
| Aufgabe | Berechne den Fourierkoeffizient Ak von der Funktion f(t)= 1-t²
für -1<t<1
Tipp benutze die Eulersche Form |
Im Prinzip weiß ich grob wie man Ak berechnen kann, allerdings weiß ich nicht wie ich die eulersche Form aufschreiben kann. Könnte einer mit mir Schritt für Schritt die Form aufstellen, den Rest sollte ich schon alleine schaffen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Sa 24.07.2010 | | Autor: | Verdeg |
kann es sein das damit einfach nur gemeint ist :
Allg Formel
Ak= [mm] \bruch{2}{T} \integral_{a}^{b}{f(x)* cos (w*t) dx}
[/mm]
und ich soll jetzt den cos(w*t) durch exp(-iwt) ersetzte und ganz normal wie immer ausrechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Sa 24.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> kann es sein das damit einfach nur gemeint ist :
> Allg Formel
> Ak= [mm]\bruch{2}{T} \integral_{a}^{b}{f(x)* cos (w*t) dx}[/mm]
>
> und ich soll jetzt den cos(w*t) durch exp(-iwt) ersetzte
das ist falsch: Für $w,t [mm] \in \IR$ [/mm] ist
[mm] $$e^{iwt}=\cos(wt)+i*\sin(wt)$$
[/mm]
und
[mm] $$\cos(wt)=\text{Re }(e^{iwt})=\frac{1}{2}(e^{iwt}+e^{-iwt})\,.$$
[/mm]
> und ganz normal wie immer ausrechnen?
Wie habt ihr denn die Fourierreihe eingeführt? Man kann mit reellen und komplexen Koeffizienten rechnen, vgl. ![[]](/images/popup.gif) Wiki.
Für [mm] $2\pi$-periodische [/mm] Funktionen findest Du vieles auch in Kapitel 28 von hier, jedenfalls für komplexe Koeff..
(Du hast zwar eine andere Periode, aber eigentlich ist die Periode egal, da man ggf. geeignet transformieren kann.)
Einen Zusammenhang zwischen den kompl. und reellen Koeffizienten und zwischen den entsprechenden Fourierreihendarstellung entnimmst Du z.B. auch wieder Wiki, Link oben.
P.S.:
Achte bitte drauf, dass bei den Fourierkoeffizienten beim Integranden rechterhand auch ein [mm] $k\,$ [/mm] vorkommen muss, und dass Du die Integrationsvariable nicht mehrfach bezeichnest. Zudem geht es hier wohl eher um die Berechnung von Fourierkoeffizienten denn um die Fouriertransformierte?
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Sa 24.07.2010 | | Autor: | Verdeg |
Ja,
wir haben nur mit reelen gerechnet. Ich habe das jetzt so verstanden das ich cos(w*t)
mit w= [mm] \bruch{2*Pi*k}{T} [/mm] durch exp(iw*t) ersetzte. Dann müsste ich ja die Stammfunktion bilden und die Grenzen für mein t einsetzten und kann daraus den Koeffizienten berechnen.
Wie bildet man denn davon die Stammfunktion? Kann ich i als Konstante ansehen und "leite" nur t auf?
(w ist auch eine Konstante jetzt vereinfacht betrachtet)
Also quasi exp(iw*t) * [mm] \bruch{1}{iw}
[/mm]
Ich schaue mir jetzt die Links von dir genauer an...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Sa 24.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja,
> wir haben nur mit reelen gerechnet. Ich habe das jetzt so
> verstanden das ich cos(w*t)
> mit w= [mm]\bruch{2*Pi*k}{T}[/mm] durch exp(iw*t) ersetzte. Dann
> müsste ich ja die Stammfunktion bilden und die Grenzen
> für mein t einsetzten und kann daraus den Koeffizienten
> berechnen.
>
> Wie bildet man denn davon die Stammfunktion? Kann ich i als
> Konstante ansehen und "leite" nur t auf?
> (w ist auch eine Konstante jetzt vereinfacht betrachtet)
> Also quasi exp(iw*t) * [mm]\bruch{1}{iw}[/mm]
>
> Ich schaue mir jetzt die Links von dir genauer an...
bei Dir ist doch [mm] $T=1-(-1)=2\,$ [/mm] die Periode von [mm] $f(t)=1-t^2\,,$ [/mm] nach Aufgabenstellung. (Diese auf $[-1,1]$ definierte Funktion wird auf [mm] $\IR$ [/mm] periodisch fortgesetzt.)
Dann gilt doch:
Die reellen Koeffizienten [mm] $b_k$ [/mm] sind alle [mm] $=0\,,$ [/mm] weil obiges [mm] $f\,$ [/mm] gerade ist, und für die [mm] $a_k$ [/mm] gilt:
[mm] $$\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2}*\int_{-1}^1 f(t)\;dt=\frac{1}{2}*\int_{-1}^1 (1-t^2)\;dt=\ldots$$
[/mm]
und
[mm] $$a_k=\frac{2}{T}\int_{-1}^1 f(t)\cos(k*w*t)\;dt=\int_{-1}^1 (1-t^2)\frac{e^{ikwt}+e^{-ikwt}}{2}\;dt=\frac{1}{2}\int\ldots$$
[/mm]
Dabei wird dann auch noch
[mm] $$w=\frac{2\pi}{T}=\pi$$
[/mm]
benutzt, was hier wegen [mm] $T=2\,$ [/mm] (oben auch schon mehrfach benutzt) gilt.
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Sa 24.07.2010 | | Autor: | Verdeg |
Danke Marcel,
tut mir leid das ich in meiner letzte Fragen nochmal den gleichen Fehler reingepostet habe. Ich habe das jetzt verstanden wie du das meinst. Das habe ich auch selber hinbekommen.
Jetzt nochmal die gleiche Frage mit der richtigen Funktion :
wenn ich nun diese Gleichung habe
$ [mm] a_k=\frac{2}{T}\int_{-1}^1 f(t)\cos(k\cdot{}w\cdot{}t)\;dt=\int_{-1}^1 (1-t^2)\frac{e^{ikwt}+e^{-ikwt}}{2}\;dt=\frac{1}{2}\int\ldots [/mm] $
wie kann ich dann [mm] e^{-ikwt} [/mm] "aufleiten"?
Ich brauche nicht die Regeln, die beherrsche ich, es geht nur darum wie ich jetzt das i, also den komplexen Teil in der Stammfunktion einbeziehe.
Normalerweise ist es ja so. Ich habe eine Funktion [mm] e^{x²}
[/mm]
Dann wäre ja die Aufleitung [mm] e^{x²} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2x}
[/mm]
Denn wenn ich [mm] e^{x²} [/mm] ableite bekomme ich ja wieder die [mm] e^{x²} [/mm] Funktion raus und muss noch mit 2*x multiplizieren (Kettenregel). Durch den Zusatz [mm] \bruch{1}{2x} [/mm] kürzt sich dann alles raus und ich habe am Ende wieder [mm] e^{x²}.
[/mm]
So, ich glaube das reicht zur Erklärung. Und zum Schluss nochmal meine Frage: bei beispielsweise [mm] e^{ix²} [/mm] (ich weiß nicht ob es so einen Ausdruck gibt, aber da kann man ja jetzt ein Auge zu drücken), funktioniert es analog wie [mm] e^{x²} [/mm] oder muss ich da es einen Imaginärteil gibt eine neue Regel bei der Bildung der Stammfunktion beachten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Sa 24.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke Marcel,
> tut mir leid das ich in meiner letzte Fragen nochmal den
> gleichen Fehler reingepostet habe. Ich habe das jetzt
> verstanden wie du das meinst. Das habe ich auch selber
> hinbekommen.
>
> Jetzt nochmal die gleiche Frage mit der richtigen Funktion
> :
>
> wenn ich nun diese Gleichung habe
> [mm]a_k=\frac{2}{T}\int_{-1}^1 f(t)\cos(k\cdot{}w\cdot{}t)\;dt=\int_{-1}^1 (1-t^2)\frac{e^{ikwt}+e^{-ikwt}}{2}\;dt=\frac{1}{2}\int\ldots[/mm]
>
> wie kann ich dann [mm]e^{-ikwt}[/mm] "aufleiten"?
>
> Ich brauche nicht die Regeln, die beherrsche ich, es geht
> nur darum wie ich jetzt das i, also den komplexen Teil in
> der Stammfunktion einbeziehe.
>
> Normalerweise ist es ja so. Ich habe eine Funktion [mm]e^{x²}[/mm]
> Dann wäre ja die Aufleitung [mm]e^{x²}[/mm] * [mm]\bruch{1}{2x}[/mm]
nein
[mm] $$\int e^{x^2}dx \not=\frac{e^{x^2}}{2x}\,.$$
[/mm]
Die rechte Seite musst Du zunächst nach der Quotientenregel ableiten (währenddessen braucht man insbesondere auch die Kettenregel für die Ableitung des Zählers), dann siehst Du das. Und dass Deine Idee mit direkter Integration nicht klappt, erkennst Du, wenn Du mal substituierst; denn das ist es, was Du eigentlich versuchst. Aber Dein Ergebnis ist falsch!
Übrigens verwerfe den Begriff "Aufleiten", und ersetze ihn durch was mathematisches: Sprich z.B. vom Integrieren, der Integration oder einer Stammfunktion.
> Denn wenn ich [mm]e^{x²}[/mm] ableite bekomme ich ja wieder die
> [mm]e^{x²}[/mm] Funktion raus und muss noch mit 2*x multiplizieren
> (Kettenregel). Durch den Zusatz [mm]\bruch{1}{2x}[/mm] kürzt sich
> dann alles raus und ich habe am Ende wieder [mm]e^{x²}.[/mm]
>
> So, ich glaube das reicht zur Erklärung. Und zum Schluss
> nochmal meine Frage: bei beispielsweise [mm]e^{ix²}[/mm] (ich weiß
> nicht ob es so einen Ausdruck gibt, aber da kann man ja
> jetzt ein Auge zu drücken), funktioniert es analog wie
> [mm]e^{x²}[/mm] oder muss ich da es einen Imaginärteil gibt eine
> neue Regel bei der Bildung der Stammfunktion beachten?
[mm] $$\int t^2 e^{ikwt}dt$$
[/mm]
kann man partiell integrieren. Und dabei ist
[mm] $$\int e^{ikwt}dt=\frac{e^{ikwt}}{ikw}$$
[/mm]
Die "Rechenregeln für diff'bare Funktionen" gelten auch für komplexwertige Funktionen (mit reellem Def.-Bereich), vgl. etwa Satz 13.4 und Satz 13.7..
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 So 25.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
zur Kontrolle:
Ich habe es mal durchgerechnet, und bekomme
$$a_0/2=2/3\,,$$
und mit $\int_{-\pi}^\pi \cos(kx)dx=0$ und zweimaliger partieller Integration
$$a_k=\ldots=-\frac{1}{2\pi^3}*\underbrace{\frac{4\pi}{k^2}*(-1)^k}_{=\integral\limits_{-\pi}^\pi x^2e^{ikx}dx}=\frac{2}{k^2\pi^2}*(-1)^{k+1}\,.$$
Dabei ist zwischendurch
$$\int_{-\pi}^\pi \underbrace{x^2}_{\equiv:u(x)}\underbrace{e^{ikx}}_{\equiv v'(x)}dx$$
mit p.I. zu berechnen, und währenddessen gelangt man zu der Erkenntnis, das man auch
$$\int_{-\pi}^\pi \underbrace{x}_{\equiv:\tilde{u}(x)}\underbrace{e^{ikx}}_{\equiv v'(x)}dx$$
zu berechnen hat, was sich wieder partiell integrieren läßt:
$$\int_{-\pi}^\pi \underbrace{x}_{\equiv:\tilde{u}(x)}\underbrace{e^{ikx}}_{\equiv v'(x)}dx=\underbrace{\left.x*\frac{e^{ikx}}{ik}\right|_{x=-\pi}^{x=\pi}}_{=\pi(\underbrace{e^{ik\pi}+e^{-ik\pi}}_{=\cos(k\pi)=(-1)^k})}-\underbrace{\int\ldots}_{=0}=\ldots$$
Ferner sollte man auch (zu Beginn der Rechnung) beachten, dass - nachdem man $\cos(kx)=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}$ geschrieben hat - (mit der einfachen Substitution $t=t(x):=-x$) gilt
$$\int_{-\pi}^\pi x^2 e^{-ikx}dx=\int_{-\pi}^\pi t^2e^{ikt}dt\,.$$
Das sind so die wesentlichen Tippszur Berechnung.
P.S.:
Den Tipp
$$(\*)\;\;\cos(kx)=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}$$
zu benutzen, ist zwar okay, aber man durchaus auch einfach direkt
$$a_k=\frac{1}{2}\int_{-1}^1 (1-t^2)\cos(k*\underbrace{\pi}_{=w}*t)\;dt\;\;\;\left(\;=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\cos(k*x)\;dx\;\right)$$
mittels p.I. berechnen. M.E. nach ist es nur Geschmackssache, wie man lieber rechnet - denn $(\*)$ führt zu keiner wesentlichen Vereinfachung (zumindest sehe ich keine).
Denn:
$$\int \cos(kx)dx=\frac{\sin(kx)}{k}$$
und
$$\int \sin(kx)dx=\frac{-\cos(kx)}{k}\,.$$
Falls das unklar ist, so substutiere man notfalls linkerhand $y=y(x):=kx\,.$
P.S.:
Damit erkennt Du auch
$$\int_{-\pi}^\pi \cos(kx)\;dx=0\,,$$
und wenn Du hier "alles direkt" substuierst, beachte, dass auch die Grenzen zu ändern sind:
$$\int_{-\pi}^\pi \cos(kx)\;dx=\int_{-k\pi}^{k\pi} \cos(t)\;\frac{dt}{k}\,.$$
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Sa 24.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechne den Fourierkoeffizient Ak von der Funktion f(t)=
> 1-t²
> für -1<t<1
>
> Tipp benutze die Eulersche Form
> Im Prinzip weiß ich grob wie man Ak berechnen kann,
das solltest Du nicht grob wissen, sondern das musst Du wissen:
Du mußt doch die Definitionen kennen!
Schlag' es nach und poste es uns. Denn eine Funktion noch in eine Formel (mit einem Integral) einzusetzen, sollte Dir doch gelingen? Die Berechnung des Integrals (oder der Integrale; es sind ja mehrere, da $k [mm] \in \IN_0$) [/mm] scheint wohl eher das Problem zu sein, also poste uns, wo Du da nicht weiterkommst.
> allerdings weiß ich nicht wie ich die eulersche Form
> aufschreiben kann. Könnte einer mit mir Schritt für
> Schritt die Form aufstellen, den Rest sollte ich schon
> alleine schaffen.
Ich frage mich, was die "Eulersche Form" sein soll? Sowas wie hier?
Oder geht's generell nur um die Verwendung dieser Formeln?
Beste Grüße,
Marcel
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