Berechnung Kern f < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Durch f( [mm] \vec{e}_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ -1 \\ 1 \\ 3 }, [/mm] f( [mm] \vec{e}_{2} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 6 \\ 3 }, [/mm] f( [mm] \vec{e}_{3} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 \\ 4 \\ -3 } [/mm] wird eine lineare Abbildung vom [mm] R^{3} [/mm] in den [mm] R^{3} [/mm] definiert.
a) Gesucht ist [mm] f\pmat{x \\ y \\ z}=?
[/mm]
b) Bestimme eine Basis von Kern f und [mm] f(R^{3}) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Für Kern f = [mm] \pmat{x \\ y \\ z} \in R^{3} [/mm] erhalte ich:
[mm] \pmat{ -x + 0y +2z \\ x + 6y + 4z \\ 3x +3y -3z }= \pmat{0 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Zwar ist die Lösung x=y=z=0 eine mögliche, aber es gibt auch noch die Lösung
Kern f = [mm] \pmat{2 \\ -1 \\ 1}.
[/mm]
Leider komme ich weder mit Austausch- noch mit Gaussverfahren oder dem Taschenrechner auf diese letzte Lösung.
Vielen Dank für eure Hilfe und einen schönen Abend,
Sven
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 Mo 06.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Sven
1. die Lösung 0,0,0 hat jedes homogene Gleichugssystem, deshalb redet man über die NIE
2. Wieso klappt dein Gauss verfahren nicht, mit 1 Schritt hat man 2. und 3. Zeile proportiona. im nächsten ist die 3. Zeile 0.
Dann weisst du der Rang ist 2, die Dimension des Bildes also 2 und die des Kerns 1 . aus den 2 verbliebenen Gl kannst du jetzt viele Vektoren rauskrigen, indem du für einen der 3 Komponenten ne beliebige Zahl (ausser 0 ) einsetzt.
die anderen folgen daraus, und du hast einen Vektor im Kern, den du dann auch als Basis nehmen kannst.! Als Basis vom Bild am besten die Bilder der Standardbasis,
Gruss leduart
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Hallo Leduart,
danke erst einmal für deine schnelle Antwort:
Ich komm leider trotzdem nicht weiter :-(
Mit GAUSS komme ich auf:
I. -1 0 2
II. 1 6 4
III. 3 3 -3
I+II 0 6 6 (II')
3*I+III 0 3 -3 (III')
II'-2*III' 0 0 12 ???
Und - wie kann ich aus den Ergebnissen auf Dim Bild und Dim Kern schließen?
Nochmals danke,
Sven
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mo 06.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Sven
> Mit GAUSS komme ich auf:
> I. -1 0 2
> II. 1 6 4
> III. 3 3 -3
>
> I+II 0 6 6 (II')
> 3*I+III 0 3 -3 (III')
letzte Zeile falsch! es ist 0 3 3
> II'-2*III' 0 0 12 ???
falsch! 0 0 0 ist richtig
Da du ja einen Lösungsvektor der hom. Gl, weisst, musstest du merken, dass du einen Fehler gemacht hast: wenn die Matrix den Rang 3 hat gibt es keine Lösg.(ausser der trivialen)
Damit hat die Matrix den Rang 2, damit auch das Bild. wegen dim(Bild)=Rang Matrix) und wegen dim(bild)+dim(Kern)=dim(V) hast du dim Kern =1.
> Und - wie kann ich aus den Ergebnissen auf Dim Bild und Dim
> Kern schließen?
hast du den jetzt einen Vektor im Kern? dass er 1dim ist, kannst du natürlich auch daraus schließen, dass du nur eine Wahl frei hast, also nur x oder y oder z frei wählen kannst. Das liegt aber auch wieder am Rang 2 der matrix!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Fr 17.02.2006 | | Autor: | CrazyCroco |
Vielen Danke für die nette und ausführliche Hilfe. Hoffe, ich hatte es verstanden, sonst frag ich in Vorbereitung der Nachklausur bestimmt noch einiges 
Nochmals danke!
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