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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass sich die Geraden g: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 6 \\ 2} [/mm] +r [mm] \vektor{1\\-1\\2} [/mm] und [mm] h:\overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\4\\-1} [/mm] + s [mm] \vektor{2\\3\\1} [/mm] schneiden, bestimmen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel |
Hallo zusammen,
ich habe zwar einen ähnlichen Thread mit diesem Thema gefunden, leider hat mir dieser aber nicht weitergeholfen und daher hoffe ich, dass ihr mir auf die Sprünge helfen könnt( ich erwarte also keineswegs die Lösung!).
Meine Ansätze:
Man kann sofort erkennen, dass sich die beiden Geraden nicht schneiden, da die Richtungsvektoren linear unabhängig sind.
Den Schnittpunkt würde ich durch Gleichsetzen der beiden Vektoren berechnen:
[mm] \vektor{2\\6\\2} [/mm] + r [mm] \vektor{1\\-1\\2} [/mm] = [mm] \vektor{-1\\4\\-1} [/mm] + s [mm] \vektor{2\\3\\1} [/mm]
[mm] \Rightarrow \vektor{3\\2\\3} [/mm] = r [mm] \vektor{-1\\1\\-2} [/mm] + s [mm] \vektor{2\\3\\1}
[/mm]
Koeffizientenmatrix:
-r + 2s = 3
r + 3s = 2
-2r + s = 3
r - 2s = -3 (: (-1) )
r + 3s = 3
2r - s = -3 ( : (-1) )
-3r + 0s = -9 ( - 2 x III)
7r + 0s = -7 ( + 3 x III)
2r - s = -3
r = 3
r = -1
-s = -3
Den Winkel würde ich wie folgt berechnen:
[mm] cos\alpha [/mm] = [mm] \bruch {b1c1+b2c2+b3c3}{(\wurzel{b1^2+b2^2+b3^2)} x (\wurzel{c1^2+c2^2+c3^2}) }
[/mm]
Über eure Hilfe würde ich mich wahnsinnig freuen!
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Hallo gruenefee,
> Zeigen Sie, dass sich die Geraden g: [mm]\overrightarrow{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{2 \\ 6 \\ 2}[/mm] +r [mm]\vektor{1\\-1\\2}[/mm] und
> [mm]h:\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{-1\\4\\-1}[/mm] + s
> [mm]\vektor{2\\3\\1}[/mm] schneiden, bestimmen Sie den Schnittpunkt
> und den Schnittwinkel
> Hallo zusammen,
>
> ich habe zwar einen ähnlichen Thread mit diesem Thema
> gefunden, leider hat mir dieser aber nicht weitergeholfen
> und daher hoffe ich, dass ihr mir auf die Sprünge helfen
> könnt( ich erwarte also keineswegs die Lösung!).
>
> Meine Ansätze:
> Man kann sofort erkennen, dass sich die beiden Geraden
> nicht schneiden, da die Richtungsvektoren linear
> unabhängig sind.
Du meinst wohl, dass die beiden nicht parallel sind?
Sind die Vektoren linear abhängig, so sind die Geraden parallel oder identisch.
Sind die Vektoren linear unabhängig, so sind die Geraden windschief oder sie schneiden sich in einem Punkt.
>
> Den Schnittpunkt würde ich durch Gleichsetzen der beiden
> Vektoren berechnen:
>
> [mm]\vektor{2\\6\\2}[/mm] + r [mm]\vektor{1\\-1\\2}[/mm] = [mm]\vektor{-1\\4\\-1}[/mm]
> + s [mm]\vektor{2\\3\\1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \vektor{3\\2\\3}[/mm] = r [mm]\vektor{-1\\1\\-2}[/mm]
> + s [mm]\vektor{2\\3\\1}[/mm]
>
> Koeffizientenmatrix:
>
> -r + 2s = 3
> r + 3s = 2
> -2r + s = 3
>
> r - 2s = -3 (: (-1) )
> r + 3s = 3
> 2r - s = -3 ( : (-1) )
>
> -3r + 0s = -9 ( - 2 x III)
> 7r + 0s = -7 ( + 3 x III)
> 2r - s = -3
>
> r = 3
> r = -1
> -s = -3
Das kann nicht sein.
Dein Verfahren ist korrekt, jedoch hast du dich einfach verrechnet:
(I) -r + 2s = 3
(II) r + 3s = 2
(III) -2r + s = 3
Addition von (I) und (II) bringt uns die Gleichung 5s=5, weshalb s=1 ist.
Setzt man s in (I) ein, so erhalten wir r=-1
Die Probe bestätigt uns dann die Lösung.
Schnittpunkt solltest du nun noch selbst bestimmen. Also r oder s in die Geradengleichung einsetzen.
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> Den Winkel würde ich wie folgt berechnen:
>
> [mm]cos\alpha[/mm] = [mm]\bruch {b1c1+b2c2+b3c3}{(\wurzel{b1^2+b2^2+b3^2)} * (\wurzel{c1^2+c2^2+c3^2}) }[/mm]
Ja, das stimmt. Dann setz einfach mal ein und berechne [mm] \alpha
[/mm]
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>
> Über eure Hilfe würde ich mich wahnsinnig freuen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Mi 19.12.2012 | | Autor: | GrueneFee |
Hey,
hatte ganz vergessen mich für deine Antwort zu Bedanken..also, dankeschön:)
Gibt es hier eine Option, seine selbst verfassten Threads zu sehen?
Weil so musste ich bisher immer über die allgemeine Suchfunktion meinen Thread suchen.. und das kann ja hier ganz schön dauern :)
Grüße,
Die Gruene_Fee
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