Berechnung des Beta-Fehlers < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Das monatliche Einkommen von Studierenden war bislang in guter
Näherung normalverteilt mit [mm] \mu [/mm] = 600 und [mm] o^{2} [/mm] = 324. Seit einiger
Zeit wird allerdings vermutet, dass dieses Einkommen gesunken ist.
Daher wird eine Zufallsstichprobe von Studierenden vom Umfang
n = 100 gezogen und deren monatliches Einkommen erfragt. Das
mittlere Einkommen in der Stichprobe beträgt [mm] \overline{x} [/mm] = 596.9.
a) Formulieren Sie die entsprechenden Hypothesen, legen Sie
[mm] \alpha [/mm] = 0.05 zugrunde und führen Sie den entsprechenden Test
durch.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitkeit für einen [mm] \beta [/mm] -Fehler, wenn unter sonst gleichen Bedingungen wie in Teilaufgabe a) der Beispielaufgabe:
1. [mm] \mu [/mm] = 600 beträgt
2. [mm] \mu [/mm] = 592.4022 beträgt. |
Hi,
ausgehend von der oben genannten Aufgabenstellung habe ich die gewünschten Hypothesen aufgestellt und den entsprechenden Test durchgeführt.
Ergebnis:
Signifikanztest auf Prüfung von Erwartungswerten bei metrischem Merkmal
Hypothese
[mm] H_{0} [/mm] : [mm] \mu \ge \mu_{0}, H_{1}: \mu [/mm] < [mm] \mu_{0}
[/mm]
Prüfgröße
Z = [mm] \bruch{596.9 - 600}{\bruch{18}{10}} [/mm]
Z = -1.722
Ablehnungsbereich
-1.722 < [mm] -z_{1-\alpha}
[/mm]
-1.722 < -1.645
Antwort: [mm] H_{0} [/mm] kann abgelehnt werden.
Meine Frage bezieht sich nun auf Teilaufgabe b). Ich habe leider noch kein Verständnis für die Berechnung des [mm] \beta [/mm] -Fehlers. Wie soll ich zur Berechnung des Fehlers weiter verfahren? Welche Formeln sollen Anwendung finden (z.B. eventuell Standardtransformation)?
Mein allgemeines Verständnis im Fall [mm] \beta [/mm] -Fehler beschränkt sich auf die Information, dass dieser Fehler den Fall abdeckt, in dem die [mm] H_{0} [/mm] beibehalten wird, obwohl [mm] H_{1} [/mm] richtig ist.
Über verständliche Erklärungsansätze und Hilfestellungen wäre ich sehr glücklich!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Sa 16.08.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo StudentJo,
und herzlich willkommen im Forum.
Der [mm] \beta [/mm] -Fehler wird eigentlich nicht so häufig berechnet.
Der [mm] \beta [/mm] -Fehler wird, wie du gesagt hast über die Wahrscheinlichkeit [mm] sup_{p\in H_1}P_p[A] [/mm] berechnet mit p aus der Alterative und A Annahmebereich. Das entspricht gerade der Wahrscheinlichkeit, dass [mm] H_0 [/mm] zwar angenommen wird (wegen Annahmebereich), aber p eigentlich aus der Alternative stammt.
MfG
Ladon
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Vielen Dank Ladon für die Begrüßung!
Soweit ich verstanden habe, muss der kritische Wert berechnet werden, ab dem die Hypothese [mm] H_{0} [/mm] i.m. Fall nicht mehr verworfen werden kann. Dieser Wert muss dann auf der Standardnormalverteilung abgebildet werden und die Wahrscheinlichkeit in der entsprechenden Tabelle abgelesen werden. Liege ich mit meiner Annahme richtig? Wie verändert sich meine Herangehensweise, wenn sich der wahre Wert ändert? Stelle ich den kritischen Wert neu auf?
Rechnung
[mm] \bruch{ X - 600}{\bruch{18}{10}} [/mm]
X = 597.039
b)
1.
Standardtransformation
[mm] \bruch{597.039-600}{10}
[/mm]
= -0.2961 (kein Interpolation)
= 1-0.615
= 0.385
2.
Standardtransformation
[mm] \bruch{597.039-592.4022}{10}
[/mm]
= 0.46368 (kein Interpolation)
= 0.680
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 So 17.08.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin StudentJo
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Der Fehler 2. Art wird begangen, wenn [mm] $H_0$ [/mm] beibehalten wird, und [mm] $H_1$ [/mm] trifft zu, z.B. [mm] $\mu=592.4022$. [/mm]
Nenne die Wahrscheinlichkeit hierfuer [mm] $\beta(\mu)$. [/mm] Bei deinem Test behaeltst [mm] $H_0$ [/mm] bei, wenn [mm] $Z\ge-1.645$ [/mm] eintritt. Mithin ist [mm] $\beta(\mu)=P(Z\ge-1.645)$. [/mm] Die Verteilung von $Z$ haengt nun aber ab von [mm] $\mu$, [/mm] naemlich wie? Wenn du diese Frage beantworten kannst, dann kannst du auch [mm] $\beta(\mu)$ [/mm] berechnen. So ist [mm] $\beta(600)=0.95$ [/mm] ...
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Hi luis51,
je geringer in deinem Beispiel [mm] \mu [/mm] ausfällt, desto wahrscheinlicher ist es, dass die [mm] H_{0} [/mm] nicht abgelehnt wird. Im Beispiel [mm] \mu [/mm] = 592.4022 führt die berechnete Prüfgröße (Z = 2.499) jedoch zur Beibehaltung der [mm] H_{0}, [/mm] was bei dem gegebenen Stichprobenmittelwert von x = 596.9 in meinen Augen sogar richtig ist. Allein die zuerst gestellte Annahme, die Stichprobe würde darauf hinweisen, dass sich das Mittel gesenkt hat, trifft nicht mehr zu.
Deine Berechnung des [mm] \beta [/mm] -Fehlers bei [mm] \mu [/mm] = 600 ist mir genauso schleierhaft. Warum soll er bei einer 95%-W'keit eintreten, obwohl der dafür benötigte Wert aus der Z-Tabelle 1.645 ist, statt dem gegebenem -1.645?
Alles im Allem bin ich dem wahren Verständnis auch weiter auf der Spur!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 So 17.08.2014 | | Autor: | luis52 |
> Hi luis51,
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luis52! mach mich bitte nicht aelter als ich bin. 
> je geringer in deinem Beispiel [mm]\mu[/mm] ausfällt, desto
> wahrscheinlicher ist es, dass die [mm]H_{0}[/mm] nicht abgelehnt
> wird. Im Beispiel [mm]\mu[/mm] = 592.4022 führt die berechnete
> Prüfgröße (Z = 2.499) jedoch zur Beibehaltung der [mm]H_{0},[/mm]
Verstehe ich nicht.
> was bei dem gegebenen Stichprobenmittelwert von x = 596.9
> in meinen Augen sogar richtig ist. Allein die zuerst
> gestellte Annahme, die Stichprobe würde darauf hinweisen,
> dass sich das Mittel gesenkt hat, trifft nicht mehr zu.
Ich rechne so: Angenommen [mm] $\mu$ [/mm] ist der Erwartungswert. Die Hypothese H$_0$ wird beibehalten, wenn [mm] $(Z\ge [/mm] -z)$ eintritt fuer $z=1.645$. Dann ist
[mm] \begin{matrix}
P(Z>-z)&=&P\left(\dfrac{\bar X-600}{1.8}\ge -z\right) \\
&=&1-P(\bar X\le 600-1.8z) \\
&=&1- P\left(\dfrac{\bar X-\mu}{1.8}\le\dfrac{600-\mu}{1.8} -z\right) \\
&=&1- \Phi\left(\dfrac{600-\mu}{1.8} -z\right)
\end{matrix} [/mm]
Fuer [mm] $\mu=600$ [/mm] ergibt sich $0.95$ ...
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Das tut mir Leid luis52. Da hab ich wohl falsch in die Tasten geschlagen!
Ich habe versucht deiner Gleichung zu verfolgen, um sie eventuell auf die 2. Teilaufgabe anzuwenden, doch ist mir unklar nach welchem Schema du umgeformt und erweitert hast.
Der 1. Umformungsschritt sieht vor, dass der Bruch zur anderen Seite hin aufgelöst und die Gleichung umkehrt wird. Liegt dies daran, dass die Wahrscheinlichkeit von 1 subtrahiert wird? Im 2. Umformungsschritt sieht es nun aus, dass du beide Seiten um die Standardisierung erweiterst. Ist dies richtig? Der letzte Rechenschritt ist mir des Weiteren auch nicht ganz ersichtlich. Nachdem ich die Gleichung von Anfang an mit [mm] \mu [/mm] = 600 aufstelle, verstehe ich nun nicht, warum ich diesen Wert am Ende auch wieder abziehen soll? Das dabei -1.645 übrig bleibt wirkt auf mich trivial. Wie sich nun die 2. Teilaufgabe von dieser Rechnung unterscheiden soll, ist mir dementsprechend auch unklar.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Mo 18.08.2014 | | Autor: | luis52 |
> Das tut mir Leid luis52. Da hab ich wohl falsch in die
> Tasten geschlagen!
Kein Problem. Meine Klage war auch nicht ernst gemeint.
>
> Ich habe versucht deiner Gleichung zu verfolgen, um sie
> eventuell auf die 2. Teilaufgabe anzuwenden, doch ist mir
> unklar nach welchem Schema du umgeformt und erweitert hast.
>
> Der 1. Umformungsschritt sieht vor, dass der Bruch zur
> anderen Seite hin aufgelöst und die Gleichung umkehrt
> wird. Liegt dies daran, dass die Wahrscheinlichkeit von 1
> subtrahiert wird?
Nein, ich rechne nur ueber die Gegenwahrscheinlichkeit, um spaeter Werte der Verteilungsfunktion nutzen zu koennen.
> Im 2. Umformungsschritt sieht es nun aus,
> dass du beide Seiten um die Standardisierung erweiterst.
> Ist dies richtig?
Ja.
> Der letzte Rechenschritt ist mir des
> Weiteren auch nicht ganz ersichtlich. Nachdem ich die
> Gleichung von Anfang an mit [mm]\mu[/mm] = 600 aufstelle, verstehe
> ich nun nicht, warum ich diesen Wert am Ende auch wieder
> abziehen soll?
$600$ ist das *hypothetische* [mm] $\mu$ [/mm] aus der Nullhypothese, ich frage rechne aber mit einem angenommenen "wahren" [mm] $\mu$, [/mm] z.B. [mm] $\mu=600$ [/mm] oder [mm] $\mu=592.4022$
[/mm]
> Das dabei -1.645 übrig bleibt wirkt auf
> mich trivial.
Das ist *hier* trivial, weil in diesem Fall das unterstellte [mm] $\mu$ [/mm] mit dem hypothetischen [mm] $\mu=600$ [/mm] uebereinstimmt. Fuer [mm] $\mu=592.4022$ [/mm] bleibt nicht nur $-1.645$ uebrig.
> Wie sich nun die 2. Teilaufgabe von dieser
> Rechnung unterscheiden soll, ist mir dementsprechend auch
> unklar.
Wieso? Du brauchst doch jetzt nur noch einzusetzen.Die Formel gibt dir fuer *jedes* unterstellte [mm] $\mu$ [/mm] die Wsk an, [mm] $H_0$ [/mm] beizubehalten. Fuer Werte [mm] $\mu<600$ [/mm] soll hier ein moeglichst kleiner Wert herauskommen, fuer Werte [mm] $\mu>600$ [/mm] moeglichst grosse.
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Hi luis52,
dementsprechend muss bei einem angenommenen [mm] \mu [/mm] = 592.4022 die Wahrscheinlichkeit für einen [mm] \beta [/mm] -Fehler bei 0.005 bzw. 0.5% liegen, oder?
Falls dies stimmt, möchte ich mich schon einmal für deine Hilfe bedanken!
Gerne wüsste ich aber noch einmal, eventuell in kleinen Schritten erklärt, wie du die Standardisierung eingefügt hast. Beide Seiten der Gleichung erweiterst du um die Werte - [mm] \mu [/mm] und [mm] \bruch{1}{1.8}. [/mm] Dadurch kürzt sich die -1.8 bei z weg. Wobei z dann doch auch um ein weiteres [mm] \mu [/mm] erweitert werden müsste, oder etwa nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Mi 20.08.2014 | | Autor: | luis52 |
> Hi luis52,
>
> dementsprechend muss bei einem angenommenen [mm]\mu[/mm] = 592.4022
> die Wahrscheinlichkeit für einen [mm]\beta[/mm] -Fehler bei 0.005
> bzw. 0.5% liegen, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Falls dies stimmt, möchte ich mich schon einmal für deine
> Hilfe bedanken!
>
> Gerne wüsste ich aber noch einmal, eventuell in kleinen
> Schritten erklärt, wie du die Standardisierung eingefügt
> hast. Beide Seiten der Gleichung erweiterst du um die Werte
> - [mm]\mu[/mm] und [mm]\bruch{1}{1.8}.[/mm] Dadurch kürzt sich die -1.8 bei
> z weg. Wobei z dann doch auch um ein weiteres [mm]\mu[/mm] erweitert
> werden müsste, oder etwa nicht?
Grundsaetzlich ist [mm] $P\left(\dfrac{\bar X-600}{1.8}\ge -z\right)$ [/mm] zu bestimmen. Wie berechnet man diese Wsk, wenn bekannt ist, dass [mm] $\bar [/mm] X$ normalverteilt ist mit Erwartungswert [mm] $\mu$ [/mm] und Varianz $324/100$? Man isoliert [mm] $\bar [/mm] X$ und standardisiert ...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Mi 20.08.2014 | | Autor: | StudentJo |
Vielen Dank luis52 für deine ausführlichen Erklärungen!
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