Berechnung des Integrals < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechnen Sie das unbestimmte Integral mittels Partialbruchzerlegung [mm] \int{\frac{8}{x^4+4}} [/mm] |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter.
Ich habe bisher die Gleichung umgeformt.
[mm] \int{\frac{8}{x^4+4}} [/mm] = [mm] 8*\int{\frac{1}{x^4+4}} [/mm] = [mm] 8*\int{\frac{1}{(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)}}
[/mm]
Wobei es mich ein wenig ärgert, dass ich auf den letzten Term nur durch Probieren gekommen bin. Gibt es da einen systematischen Weg?
Dann habe ich die Nullstellen des Nenners bestimmt. Mittels pq-Formel ergeben sich [mm] x_{1,2} [/mm] = 1 [mm] \pm [/mm] i, richtig?
An dieser Stelle weiß ich aber nicht, wie ich weitermachen soll. Hat irgendjemand einen Tipp für mich?
|
|
| |
|
Hallo katerkarlo,
> Berechnen Sie das unbestimmte Integral mittels
> Partialbruchzerlegung [mm]\int{\frac{8}{x^4+4}}[/mm]
> Hallo,
> ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter.
>
> Ich habe bisher die Gleichung umgeformt.
> [mm]\int{\frac{8}{x^4+4}}[/mm] = [mm]8*\int{\frac{1}{x^4+4}}[/mm] =
> [mm]8*\int{\frac{1}{(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)}}[/mm]
> Wobei es mich ein wenig ärgert, dass ich auf den letzten
> Term nur durch Probieren gekommen bin. Gibt es da einen
> systematischen Weg?
Zerlege das Polynom wie folgt:
[mm]x^{4}+4=\left(x^{2}+a*x+b\right)*\left(x^{2}-a*x+b\right)[/mm]
>
> Dann habe ich die Nullstellen des Nenners bestimmt. Mittels
> pq-Formel ergeben sich [mm]x_{1,2}[/mm] = 1 [mm]\pm[/mm] i, richtig?
>
> An dieser Stelle weiß ich aber nicht, wie ich weitermachen
> soll. Hat irgendjemand einen Tipp für mich?
Setze hier gemäß diesem ![[]](/images/popup.gif) Ansatz an:
[mm]\bruch{1}{x^{4}+4}=\bruch{Ax+B}{x^{2}+2x+2}+\bruch{Cx+D}{x^{2}-2x+2}[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
|
