Berechnung einer Gleichung ln < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f'(x,y)=[1/2*y*[-sin(x/2)]-ln(y)] / [cos(x/2)+x/y] ist ein Bruch
Aufgabe: horizontale Tangente in y-Richtung, so dass x=-4 |
Hallo,
erstmal Entschuldigung für die schlechte Themenbenennung aber es ist mir kein besserer Name eingefallen.
Mein Ansatz zur Aufgabe:
horizontale Tangente bei den Extrema - also wenn f'=0
und f'=0 wenn der Zähler 0 ist
Also habe ich x=-4 eingesetzt und den Zähler reduziert.
Jetzt steht nur noch da: ln(y)/y=0,01745
Mein Problem: ich komme einfach nicht drauf, wie ich y herausbekomme...
Wäre wirklich nett, wenn mir das jemand kurz erklären könnte.
Vielen Dank schonmal.
Gruß
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Hallo,
ich nehme mal stark an, dass du dir das Beispiel ausgedacht hast.
Die Funktion lässt sich nicht vereinfachen - du musst einfach ein Näherungsverfahren anwenden. Newton, oder das allgemeine Fixpunktverfahren oder Ähnliches.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:26 Do 17.06.2010 | | Autor: | jimmytimmy |
Hallo,
habe mir die Aufgabe nicht selbst ausgedacht. Ist eine Übungsaufgabe die der Prof herausgegeben hat. Bei Annäherung (mit Taschenrechner rumprobiert) komme ich in den Bereich 333.
Ist mein Ansatz zur Fragestellung überhaupt korrekt?
Gruß
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> Ist mein Ansatz zur Fragestellung überhaupt korrekt?
Hallo,
mein Problem mit Deiner Aufgabe beginnt deutlich vorher: bei der Aufgabenstellung...
Vielleicht postest Du mal den kompletten Originaltext. Die Irritation beginnt bei mir nämlich schon bei f'.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
die Aufgabenstellung war folgende:
z=f(x,y)=y*cos(x/2)-x*ln(y)
a) bestimmen Sie alle 1. und 2. partiellen Ableitungen
b) wie lautet der Funktionswert und die Steigung bei x=2; y=3?
c) bestimmen Sie die horizontalen Tangenten in y-Richtung so, dass x=-4
d) bestimmen Sie z für x=-4, y=9,6 sowie den Gradienten mit zug. Steigung sowie die Richtungsableitung nach [mm] \vec{a}=\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Die partiellen Ableitungen habe ich bestimmt.
df/dx=1/2*y*[-sin(x/2)]-ln(y)
df/dy=cos(x/2)-x/y
Daraus die erste Ableitung gebildet f'(x,y)=[df/dx]/[df/dy]
Aufgabe b):
f(2,3)=0,802
Steigung: f'(2,3)=-3,376
Bin gerade bei c)
Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Danke schonmal.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Do 17.06.2010 | | Autor: | chrisno |
> df/dx=1/2*y*[-sin(x/2)]-ln(y)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> df/dy=cos(x/2)-x/y
> Daraus die erste Ableitung gebildet
> f'(x,y)=[df/dx]/[df/dy]
???????
> Aufgabe b):
Da habe ich schon bei der Formulierung der Aufgabe ein Problem. Was ist hier mit Steigung gemeint. Die größte Steigung, die eine Gerade auf der Tangentialebene hat? Ich bin überrascht, das kann aber auch Unwissenheit sein.
Vielleicht ist auch gemeint, dass Du die Funktionen f(2,y) und f(x,3) untersuchen sollst. Das würde besser in den Zusammenhang passen, wäre aber unglücklich formuliert.
>
> f(2,3)=0,802
> Steigung: f'(2,3)=-3,376
>
> Bin gerade bei c)
Da wird die Funktion reduziert. Nimm f(x,y) und setz x=-4 ein. Dann bleibt nur noch f(y) über. Die kannst Du wie üblich untersuchen. Bei der Ableitung wirst Du feststellen, dass Du sie schon berechnet hast. Es ist nicht Dein f'.
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Hallo,
mir geht es wie chrisno: mir ist nach wie vor einiges unklar.
> z=f(x,y)=y*cos(x/2)-x*ln(y)
>
> a) bestimmen Sie alle 1. und 2. partiellen Ableitungen
> b) wie lautet der Funktionswert und die Steigung bei x=2;
> y=3?
Was ist mit Steigung gemeint?
> c) bestimmen Sie die horizontalen Tangenten in y-Richtung
> so, dass x=-4
> d) bestimmen Sie z für x=-4, y=9,6 sowie den Gradienten
> mit zug. Steigung sowie die Richtungsableitung nach
> [mm]\vec{a}=\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> Die partiellen Ableitungen habe ich bestimmt.
>
> df/dx=1/2*y*[-sin(x/2)]-ln(y)
> df/dy=cos(x/2)-x/y
>
> Daraus die erste Ableitung gebildet
> f'(x,y)=[df/dx]/[df/dy]
Was soll denn das sein?
Die Ableitung ist es jedenfalls nicht.
Lies mal mal über die Ableitung von mehrdimensionalen Funktionen nach.
> Aufgabe b):
>
> f(2,3)=0,802
Dein Taschenrechner ist aufs Gradmaß eingestellt, deshalb bekommst Du hier ein falsches Ergebnis - und das ist das, was ich chrisnos Post an echten Neuigkeiten hinzuzufügen habe.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Do 17.06.2010 | | Autor: | jimmytimmy |
ok, danke soweit. Ich denke mit Steigung ist die Steigung im Punkt (x/y/z) gemeint. Den erhalte ich ja wenn ich den Funktionswert ausrechne.
werde mich nochmal dran versuchen.
Das mit der Ableitung habe ich so aus einer Musterlösung (andere Aufgabe). Kann sein, dass es da keine 3D-Funktion war. Muss ich nochmal in der Formelsammlung nachschlagen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Do 17.06.2010 | | Autor: | chrisno |
Was ist die Steigung im Punkt (x|y|z)? Du hast da nicht einen Graphen, sondern ein "Gelände".
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so, also laut meiner Formelsammlung (Papula) ist meine Ableitung y' fast korrekt (Minuszeichen vergessen) aber ob sie das ist was ich brauche?
Danach bestimmt sich die 1. Ableitung so:
y'=-Fx(x;y)/Fy(x;y) ist ein Bruch
Weiterhin wegen der Steigung im Punkt (2/3/-0,576) steht in der Formelsammlung (-0,576 habe ich erhalten nachdem ich den Taschenrechner umgestellt habe).
[mm] fy(x0;y0)=tan\alpha
[/mm]
somit setze ich (2/3) in die erste partielle Ableitung nach x ein und erhalte [mm] \alpha [/mm] = -48,36°
[mm] fy(x0;y0)=tan\beta
[/mm]
auch hier setze ich (2/3) in die erste partielle Ableitung nach y ein und erhalte [mm] \beta [/mm] = 18,43°
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Do 17.06.2010 | | Autor: | chrisno |
Was für eine Ableitung ist das? Ich tippe auf die Ableitung der impliziten Funktion. Wenn ja, bist Du sicher, dass das in diesem Zusammenhang richtig ist?
Wie machst Du nun aus zwei Winkeln eine Steigung? Noch einmal: Du stehst in einem schönen wellig- hügeligem Gelände. z=f(x,y) gibt Dir an, wie hoch Du gerade bist. Du stehst irgendwo, nicht genau auf einem Berg oder im Tal. Du kannst in jede Richtung Nord, Ost, West und alle Zwischenwerte gehen. Je nachdem, in welche Richtung Du gehst, wirst Du eine ander Steigung erleben. Welches ist nun die Steigung? Du kannst nach der größten Steigung suchen. Gehst Du dann genau andersherum hast Du die kleinste (vom Betrag her größte, aber negative) Steigung. Auch in allen anderen Fällen dreht sich das Vorzeichen der Steigung um, wenn Du rückwärts gehst.
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Ja richtig, ist die Ableitung der impliziten Form. Ob das hier richtig ist weiß ich nicht genau - brauche sie aber anscheinend auch nicht. Interessehalber: Was wäre denn eine andere Möglichkeit die Funktion abzuleiten?
Die angegebene Steigung ist einmal in x-Richtung und einmal in y-Richtung. Sollte also eindeutig sein. Da nichts anderes gegeben ist, nehme ich das mal als die gesuchte Steigung an da man sie ja mit den partiellen Ableitungen recht einfach rausbekommt.
Für die horizontale Tangente in y-Richtung würde ich jetzt so vorgehen, dass ich wieder die partielle Ableitung nach y nehme, diese Null setze und x=-4 einsetze und mir y ausrechne. Dieses y setze ich dann in die ursprüngliche Funktion ein und erhalte z. Wäre das so korrekt? Hierbei verwirrt mich aber, dass in der Fragestellung steht "horizontale Tangenten (also Mehrzahl) in y-Richtung..." scheint also mehrere zu geben... Hoffe, ich bekomme bald die Musterlösung um das nachvollziehen zu können.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Do 17.06.2010 | | Autor: | chrisno |
> Ja richtig, ist die Ableitung der impliziten Form. Ob das
> hier richtig ist weiß ich nicht genau -
Einfach losrechnen ist keine gute Strategie.
> brauche sie aber
> anscheinend auch nicht. Interessehalber: Was wäre denn
> eine andere Möglichkeit die Funktion abzuleiten?
Ich glaube, ihr habt den Begriff der Ableitung einer Funktion in zwei Variablen noch nicht gehabt. Das kommt dann bald.
>
> Die angegebene Steigung ist einmal in x-Richtung und einmal
> in y-Richtung. Sollte also eindeutig sein. Da nichts
> anderes gegeben ist, nehme ich das mal als die gesuchte
> Steigung an da man sie ja mit den partiellen Ableitungen
> recht einfach rausbekommt.
Das sind immer noch zwei Steigungen.
>
> Für die horizontale Tangente in y-Richtung würde ich
> jetzt so vorgehen, dass ich wieder die partielle Ableitung
> nach y nehme, diese Null setze und x=-4 einsetze und mir y
> ausrechne. Dieses y setze ich dann in die ursprüngliche
> Funktion ein und erhalte z. Wäre das so korrekt?
Ja, wenn Du immer x=-4 einsetzt. Das kannst Du schon am Anfang tun.
> Hierbei
> verwirrt mich aber, dass in der Fragestellung steht
> "horizontale Tangenten (also Mehrzahl) in y-Richtung..."
> scheint also mehrere zu geben... Hoffe, ich bekomme bald
> die Musterlösung um das nachvollziehen zu können.
Es kann mehrere geben. Du sollst alle finden. Das kann keine sein oder bis zu unendlich vielen.
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