Berechnung einer Tangente < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=5/6x^3-10/3x^2+3x
[/mm]
Aufgabe b) Vom Ursprung aus werde eine Tangende an den Grafen f gelegt.Bestimme die Gleichung der Tangente.Gib auch die Koordinaten des Berührungspunktes an.Zeige, dass die Tangente den Grafen von f in O(0|0) orthogonal schneidet und bestimme den Flächeninhalt der Fläche, die die Tangente mit dem Grafen von f einshcließt. (Teillösung y=-1/3x)
|
also ich weis gaaaaar nicht wie man nun die Tangente berehcnet, ich habe bisschen rumprobiert und kriege eine tangente, mit der Funktion y=3x, die ist aber logischerweise falsch. Bitte um hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo!
Wir haben die Funktion [mm] f(x)=\bruch{5}{6}x³-\bruch{10}{3}x²+3x.
[/mm]
So und nun soll eine Tangente im Punkt (0|0) an den Graphen angelegt werden. Die Tangente hat die Form y=mx+b wobei b der y-Achsenabschnitt ist und m die Steigung. Was ist nun die Steigung gerade die Ableitung der Funktion f(x). Demnach berechnest du f'(0)=?
> also ich weis gaaaaar nicht wie man nun die Tangente
> berehcnet, ich habe bisschen rumprobiert und kriege eine
> tangente, mit der Funktion y=3x, die ist aber
> logischerweise falsch. Bitte um hilfe
>
Warum ist y=3x ist falsch? Das verstehe ich nicht denn ich bekomme das selbe heraus!
Es gilt weiterhin: [mm] m_{t}=-\bruch{1}{m_{t}} [/mm] um die Orthogonale Gerade zu berechnen. Damit haben wir die Teillösung erreicht. Und können nun die Fläche ausrechnen. Natürlich brauchst du noch die Grenzen. Eine Grenze haben wir ja schon die ist 0 (Berührpunkt der Tangente an den Graphen). Die zweite Grenze berechnen wir indem wir die Tangente mit der Funktion f(x) gleichsetzen und nach x auflösen.
Ich gebe dir die Lösung des Flächeninhalts an zur Selbstkontrolle. Es ist [mm] A\approx [/mm] 17,78
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
|
|
|
| |
|
danke für die shcnelle antwort, muss aber die Gleichung der Tangente nicht y=-1/3*x ergeben und nicht y=3x
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:38 Do 10.04.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
Die Gleichung der Tangente ist y=3x Nun sollst du aber die orthogonale Tangente angeben und die ist dann [mm] m_{t}=-\bruch{1}{m_{t}} [/mm] Und so kommst du dann auch auf die gesuchte Tangente [mm] y=-\bruch{1}{3}x.
[/mm]
Ich muss mich aber korrigieren denn der Flächeninhalt ist [mm] \approx [/mm] 1,11 sorry (Aber das vorgehen bleibt das selbe denn du musst ja noch einen Schnittpunkt der Tangenten mit dem Graphe suchen)
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:49 Do 10.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Aufgabe wurde falsch interpretiert, siehe meine Antwort an Jonny.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:08 Do 10.04.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo leduart!
Das verstehe ich nicht ganz!
Es soll eine Tangente angegeben werden die orthogonal den Graphen f im Punkt (0|0) schneidet. So verstehe ich die Aufgabe. Nun kann man also eine Tangente angeben die sich an dem Graph f im Punkt 0 anschmiegt. Also nichts anderes als die Ableitung an der Stelle 0. Um nun die orthogonale Tangente die ja gesucht ist anzugeben bildet man durch [mm] m_{t}=-\bruch{1}{m_{t}} [/mm] wonach dann folgt [mm] y=-\bruch{1}{3}x [/mm] Was ist an dem Weg falsch?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Do 10.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo jonny
Tyskie hat deine Aufgabe etwas falsch gelesen.
1. man kann eine Tangente in (0,0) angeben, deren Steigung ist wie du richtig sagst 3.
2. gesucht ist aber eine Tangente die durch (0,0) geht und in einem anderen Punkt die Kurve berührt.
2 Wege die zu finden: Die gerade soll durch (0,0) gehen also die form y=m*x haben. die Gerade schneidet in 0 die Kurve und im allgemeinen noch in 2 weiteren Punkten x1 und x2.
die Schnitt punkte findest du mit f(x)=m*x.
dabei findest du natürlich wieder die lösung x=0, danach dividierst du durch x und hast ne Quadratische Gleichung für die 2 Schnittpunkte. [mm] x1/2=a\+pm \wurzel{...}
[/mm]
damit das ein Berührpkt ist, darf es nur einen gemeinsamen Pkt geben, d.h. was unter der Wurzel steht (Diskriminante) muss 0 sein.
2. Die allgemeine Form der Tangente durch den Punkt (x1,f(x1)) mit steigung f'(x1) ist y=m*x+b hier muss b=0 sein und du findest daraus x1.
Gruss leduart
|
|
|
|
