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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:34 Mo 12.01.2009 | | Autor: | qwest |
| Aufgabe | Folgende Formeln sind gegeben:
[mm] W=\integral_{q}^{f}(1-H_i(r))*h_o(r){dr}
[/mm]
Dabei ist [mm] h_o(r) [/mm] wie folgt definiert: [mm] h_o(r)=p*h_i(r)
[/mm]
Und es gilt : [mm] h_i(r)=(p*(1+q)-Q)/(p*(1+r)-Q)^2
[/mm]
Kurze Erläuterungen der Variablen:
r ist der Zins den die Bank verlangt (mit Ausnahme von r sind alle anderen Variablen fix)
W: ist eine Wahrscheinlichkeit, von einem Anbeiter zum anderen zu wechseln (wobei es um Banken geht, welche Kreditangebote machen)
Die beiden h sind Dichtefunktionen, welche die Angebotsstrukturen der beiden banken wiedergeben sollen. Wobei der Index i für die Hausbank und o für die Konkurrenzbank stehen.
p ist eine Erfolgswahrscheinlichkeit (dass der Kredit zurückgezahlt wird)
Q sind die Refinanzierungskosten der bank
q wäre der faire Zins, wenn beide Banken keine Informationen bezüglich des Kreditgeberrs hätten
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Meine Frage ist, wie kann ich W ausrechnen? Ich weis, dass ich zunächst [mm] H_i(r) [/mm] berechnen muss, aber wie?
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Hallo!
Ohne Erfahrung mit Zinsesrechnung (auf diesem Nieveau  ) etc. zu haben, würde ich ja jetzt ein von der Bezeichnung her vermuten, dass [mm] $H_{i}(r)$ [/mm] eine Stammfunktion von [mm] $h_{i}(r)$ [/mm] ist, d.h.
[mm] $H_{i}(r) [/mm] = [mm] \integral{h_{i}(r)\ \ dr}$
[/mm]
Jetzt können wir [mm] h_{i}(r) [/mm] einsetzen:
[mm] $H_{i}(r) [/mm] = [mm] \integral{\bruch{p*(1+q)-Q}{(p*(1+r)-Q)^{2}}\ \ dr}$
[/mm]
Nach Angaben von dir sind p,q und Q konstant:
[mm] $H_{i}(r) [/mm] = [mm] (p*(1+q)-Q)*\integral{\left(p*(1+r)-Q\right)^{-2}\ \ dr}$
[/mm]
Und das ist einfache Potenzregel mit ein wenig linearer Substitution:
[mm] $H_{i}(r) [/mm] = [mm] (p*(1+q)-Q)*\left(-\bruch{1}{p}*(p*(1+r)-Q)^{-1}\right) [/mm] = [mm] -\bruch{p*(1+q)-Q}{p*(p*(1+r)-Q)}$
[/mm]
Das müsstest du dann in dein Ausgangsintegral einsetzen und nochmals integrieren... (wenn meine Überlegungen bzgl. [mm] h_{i}(r) [/mm] und [mm] H_{i}(r) [/mm] richtig sind)
Grüße,
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Mo 12.01.2009 | | Autor: | qwest |
Zunächst einmal vielen Dank Stefan für deine Hilfe.
Ich habe jetzt einmal [mm] H_{i}(r) [/mm] in W eingesetzt. Nach etwas umformen komme ich auf
[mm] W=p*(p*(1+q)-Q)*\integral_{q}^{f}{\bruch{1}{(p*(1+r)-Q)^2}+\bruch{(p*(1+q)-Q)}{p(p*(1+r)-Q)^3} dr}
[/mm]
Meiner Meinung nach kann man jetzt die beiden Bestandteile des Integrals mittels der Quotientenregel aufleiten. Beim ersten Summanden komme ich dabei auf:
[mm] \bruch{1}{-p*(p(1+r)-Q)}
[/mm]
Beim zweiten Summanden muss ich aber passen. Hat jemand eine Idee wie man das lösen kann?
Grüße
Andy
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Hallo!
Ich habe deine bisherigen Umformungen nur kurz im Kopf überprüft, müsste aber stimmen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Bei dem zweiten Integral ist es doch fast genauso!
[mm] $\integral{\bruch{(p*(1+q)-Q)}{p(p*(1+r)-Q)^3} dr} [/mm] = [mm] \bruch{(p*(1+q)-Q)}{p}*\integral{(p*(1+r)-Q)^{-3} dr} [/mm] = [mm] \bruch{(p*(1+q)-Q)}{p}*\Bigg(-\bruch{1}{2*p}*(p*(1+r)-Q)^{-2}\Bigg)$
[/mm]
Grüße,
Stefan.
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