Berechnung eines Integrals < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Carlo |
| Aufgabe | Berechnen Sie das unbestimmte Integral:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{x^4-x^3-5x-4}{x^3-x^2-2x} dx} [/mm] |
Ich habe die Polynomdivision angewendet und bin auf folgendes gekommen :
1x + [mm] \bruch{2x^2-5x-4}{x^3-x^2-2x}
[/mm]
Die Nullstellen: [mm] x_1= [/mm] 0 ; [mm] x_2= \bruch{3}{2} [/mm] ; [mm] x_3= [/mm] -1
Jetzt habe ich versucht die Partialbruchzerlegung anzuwenden:
[mm] \bruch{2x^2-5x-4}{(x- \bruch{3}{2}) * (x+ 1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x- \bruch{3}{2})} [/mm] + [mm] \bruch{C}{(x+1)}
[/mm]
So und hier fängt das Problem an, wann muss ich [mm] \bruch{Bx+C}{....} [/mm] verwenden und wann [mm] \bruch{B}{...} [/mm] + [mm] \bruch{C}{...} [/mm] ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Mi 27.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du eine nicht reelle Nst. hast dan schreibst du bei dem quadratischen nenner A+Bx im Zähler. sonst nirgends
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Achso okay, danke 
Ist mein Ansatz so richtig ? Muss ich denn jetzt nur noch A,B und C berechnen, wobei da hatte ich auch Probleme....Ich schreibe mal die Rechenschritte auf:
[mm] \bruch{2x^2-5x-4}{(x- \bruch{3}{2} * (x+1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x} [/mm] + [mm] \bruch{B}{(x- \bruch{3}{2}} [/mm] + [mm] \bruch{C}{(x+1)} [/mm] | *(x - [mm] \bruch{3}{2}) [/mm] (x+1)
[mm] 2x^2-5x-4 [/mm] = [mm] Ax^2- \bruch{1}{2} [/mm] A - [mm] \bruch{3}{2} [/mm] A + Bx + B + Cx - [mm] \bruch{3}{2} [/mm] C
Jetzt wollte ich den Koeffizientenvergleich durchführen, also:
A= 2
B+C= -5
?? (ich weiß nicht, wie ich das mit A+B+C machen soll)
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Hallo Carlo,
> Achso okay, danke
>
> Ist mein Ansatz so richtig ? Muss ich denn jetzt nur noch
> A,B und C berechnen, wobei da hatte ich auch
> Probleme....Ich schreibe mal die Rechenschritte auf:
>
> [mm]\bruch{2x^2-5x-4}{(x- \bruch{3}{2} * (x+1)}[/mm] = [mm]\bruch{A}{x}[/mm]
> + [mm]\bruch{B}{(x- \bruch{3}{2}}[/mm] + [mm]\bruch{C}{(x+1)}[/mm] | *(x -
> [mm]\bruch{3}{2})[/mm] (x+1)
Der Ansatz muss doch lauten:
[mm]\bruch{2x^2-5x-4}{\blue{x}*(x- \red{\bruch{3}{2}}) * (x+1)}=\bruch{A}{x} + \bruch{B}{(x- \red{\bruch{3}{2}})} + \bruch{C}{(x+1)}[/mm]
Die rot markierte Zahl stimmt nicht.
>
>
> [mm]2x^2-5x-4[/mm] = [mm]Ax^2- \bruch{1}{2}[/mm] A - [mm]\bruch{3}{2}[/mm] A + Bx + B
> + Cx - [mm]\bruch{3}{2}[/mm] C
>
> Jetzt wollte ich den Koeffizientenvergleich durchführen,
> also:
>
> A= 2
> B+C= -5
> ?? (ich weiß nicht, wie ich das mit A+B+C machen soll)
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Vielen Dank
Ich habe das x vergessen, aber nehmen wir an, es würde eine Zahl oben in der Funktion stehen, also:
5+ [mm] \bruch{2x^2 - 5x-4}{x^3 -x^2 -2x} [/mm] müsste ich dann anstelle von x diese Zahl dahinschreiben ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Mi 27.07.2011 | | Autor: | MathePower |
Hallo Carlo,
> Vielen Dank
>
> Ich habe das x vergessen, aber nehmen wir an, es würde
> eine Zahl oben in der Funktion stehen, also:
>
>
> 5+ [mm]\bruch{2x^2 - 5x-4}{x^3 -x^2 -2x}[/mm] müsste ich dann
> anstelle von x diese Zahl dahinschreiben ??
Ich habe das "x" im Nennerpolynom gemeint.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Vielen Dank
Ich habe das x vergessen, aber nehmen wir an, es würde eine Zahl oben in der Funktion stehen, also:
5+ [mm] \bruch{2x^2 - 5x-4}{x^3 -x^2 -2x} [/mm] müsste ich dann anstelle von x diese Zahl dahinschreiben ????
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Hallo Carlo,
> Vielen Dank
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> Ich habe das x vergessen, aber nehmen wir an, es würde
> eine Zahl oben in der Funktion stehen, also:
>
>
> 5+ [mm]\bruch{2x^2 - 5x-4}{x^3 -x^2 -2x}[/mm] müsste ich dann
> anstelle von x diese Zahl dahinschreiben ????
>
Ich das "x" im Nennerpolynom gemeint, das Du
beim Faktorisieren desselbigen vergessen hast.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mi 27.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Aber nehmen wir an, dass die Aufgabe wie oben dargestellt aussieht, wo müsste dann letzendlich die 5 eingebaut werden ?
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Hallo Carlo,
> Aber nehmen wir an, dass die Aufgabe wie oben dargestellt
> aussieht, wo müsste dann letzendlich die 5 eingebaut
> werden ?
Das Integral ist ja additiv, es ist also
[mm]\int{5+\text{Bruch} \ dx} \ = \ \int{5 \ dx} \ + \ \int{\text{Bruch} \ dx}[/mm]
Du kannst die Integrale dann getrennt berechnen, das erste ist einfach, für das zweite verfahre wie im thread (Polynomdivision, wenn nötig, Partialbruchzerlegung oder was auch immer nötig ist) ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Do 28.07.2011 | | Autor: | Carlo |
Ich habe mal eine Frage, undzwar, wenn ich jetzt folgende Nullstellen habe:
[mm] x_1_/_2 [/mm] = 0
[mm] x_3_/_4 [/mm] = 1
müsste doch mein Ansatz so sein :
A/x + [mm] B/x^2 [/mm] + C/(x-1) + [mm] D/(x-1)^2 [/mm] oder ?
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> Ich habe mal eine Frage, undzwar, wenn ich jetzt folgende
> Nullstellen habe:
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> [mm]x_1_/_2[/mm] = 0
>
> [mm]x_3_/_4[/mm] = 1
Hallo,
Du redest also über den Nenner [mm] x^2(x-1)^2.
[/mm]
>
>
> müsste doch mein Ansatz so sein :
>
>
> A/x + [mm]B/x^2[/mm] + C/(x-1) + [mm]D/(x-1)^2[/mm] oder ?
Ja, wenn der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist.
Gruß v. Angela
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