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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:41 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Mini273 |
| Aufgabe | Berechne das Kurvenintegral [mm] \integral_{\partial M}^{ }{\overline{z} dz}, [/mm] wobei
a) M = [mm] B_{r}(0), [/mm] r > 0
b) M = { z [mm] \in \IC [/mm] | |Re(z)| < 1 und |Im(z)| < 1}
c) M = { z [mm] \in \IC [/mm] | |Re(z)| + |Im(z)| < 1}
Dabei bedeutet [mm] \integral_{ \partial M}^{} [/mm] das Integral entlang einer geschlossenen Kurve [mm] \gamma, [/mm] die auf dem Rand [mm] \partial [/mm] M von M verläuft, so dass M immer "links" von [mm] \gamma [/mm] liegt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute,
ich hab versucht, die a) auszurechnen und bin auf folgendes Ergebnis gekommen. Ich bin mir aber sehr unsicher, ob das stimmt, weil unser Prof so eine komische Rechenregel angegeben hat, die wie folgt lautet: Für [mm] \gamma [/mm] = [a,b] :
[mm] \integral_{\gamma}^{ }{f(z) dz} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f(a+t(b-a))b dt}
[/mm]
mit b = [mm] \gamma'(t)
[/mm]
Diese Regel hab ich bei der a) angewandt:
[mm] \integral_{\partialM}^{ }{\overline{z} dz} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{r}{f(t) dt}= \integral_{0}^{1}{f(0 + tr)r dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f(tr)r dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\overline{t} \overline{r} r dt} [/mm] = [mm] |r|^{2} \integral_{0}^{1}{\overline{t} dt} [/mm] = [mm] |r|^{2} (\integral_{0}^{1}{Re(\overline{t}) dt} [/mm] + i [mm] \integral_{0}^{1}{Im(\overline{t}) dt}) [/mm] = [mm] |r|^{2} [/mm] ( [mm] \integral_{0}^{1}{x dx} [/mm] + i [mm] \integral_{0}^{1}{ -y dy}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} |r|^{2} [/mm] (1-i)
Stimmt das so? Wenn nein, bitte ich um Korrektur.
Bei der b) und c) weiß ich nicht wirklich wie ich die Integrationsgrenzen wählen soll. Muss ich das Integral [mm] \integral_{\partialM}^{ }{\overline{z} dz} [/mm] auch mit der Rechenregel berechnen so wie bei der a)? Ich weiß aber nicht, wie ich bei der b) z.B. die Informationen |Re(z)| < 1 und |Im(z)| < 1 inm Integral umsetzen soll.
Ich bitte daher um Hilfe.
Danke und schönen Abend noch.
Mini
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Irgendwie scheinst du noch nicht richtig verstanden zu haben, worum es bei Kurvenintegralen überhaupt geht. Deine Ausführungen dazu stimmen jedenfalls überhaupt nicht.
Zu a)
Hier wird über den positiv orientierten Rand eines Kreises um [mm]0[/mm] vom Radius [mm]r[/mm] integriert. Du kannst daher nicht die Parametrisierung für eine Strecke verwenden. Verwende
[mm]z = r \operatorname{e}^{\operatorname{i} t} \, , \ \ \ \mathrm{d}z = \operatorname{i} r \operatorname{e}^{\operatorname{i} t} \, \mathrm{d}t[/mm]
Die Integrationsgrenzen sind [mm]0[/mm] (unten) und [mm]2 \pi[/mm] (oben). Und beim Einsetzen entsteht
[mm]\bar{z} = \overline{r \operatorname{e}^{\operatorname{i} t}} = r \operatorname{e}^{- \operatorname{i} t}[/mm]
Zu b)
Hier wird über ein positiv orientiertes Quadrat mit den Ecken [mm]-1 - \operatorname{i}, \, 1 - \operatorname{i}, \, 1 + \operatorname{i}, \, -1 + \operatorname{i}[/mm] integriert. Du mußt die vier Seiten des Quadrates parametrisieren und die vier entstehenden Integrale addieren.
Zu c)
Hier wird über ein positiv orientiertes Quadrat mit den Ecken [mm]-1, \, - \operatorname{i}, \, 1, \, \operatorname{i}[/mm] integriert. Auch hier sind die vier Seiten zu parametrisieren und die vier Integrale zu addieren.
Du solltest dir zuvor jedoch noch einmal die genaue Definition eines komplexen Kurvenintegrals anschauen, sonst werden dir meine Hinweise nicht viel nützen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:45 So 14.05.2006 | | Autor: | Mini273 |
Hallo,
vielen Dank für deine Hilfe. Zuerst hab ich mal eine Frage wie man bei der a) darauf kommt, dass man für z [mm] re^{it} [/mm] nehmen muss?
Das gleiche Problem hab ich jetzt nämlich auch bei der b) und c). Wenn ich ein positiv orientiertes Quadrat habe, wie muss ich denn da das [mm] \overline{z} [/mm] wählen? Kann ich da [mm] \overline{z} [/mm] = x-iy sagen, und dann [mm] \overline{z}^{2} [/mm] = [mm] (x-iy)^{2} [/mm] nehmen? Auf das hoch 2 komm ich, weil es sich hier ja um ein Quadrat handelt.
Als Integrationsgrenzen nimmt man doch die Ecken oder?
Also so: [mm] \integral_{-1-i}^{1-i} [/mm] usw. oder?
Ich hab noch eine generelle Frage, und zwar wie kommt man denn drauf, wie man die Integrationsgrenzen wählen muss bei der b) und c)
?
Wie das bei einem Kreis ist, ist mir jetzt klar, weil eine Kreisumdrehung 2 [mm] \pi [/mm] beträgt.
Bei der a) hab ich als Ergebnis das bekommen:
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{r^{2} i e^{-t +it} dt} [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] r^{2}
[/mm]
Ich hoffe, das stimmt so.
Bei der b) und c) wie gesagt, weiß ich nicht, wie ich das [mm] \overline{z} [/mm] wählen soll.
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Viele Dank.
Mini
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Sa 20.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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