Berechnung von Grenzwerten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne die Grenzwerte dieser Folgen
1; [mm] \wurzel[3]{n^3+n^2+1}-\wurzel[3]{n^3 - 2*n^2 +1}
[/mm]
2; [mm] \wurzel[n]{5^n + 7^n}
[/mm]
3; [mm] \bruch{n^2}{n+1}-\bruch{2*(n - \arctan(n))^3}{2*n^2 +1}
[/mm]
4; [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{n}(2*i +1)^2}{\summe_{i=1}^{2n} i^2} [/mm] |
Wir haben gerade begonnen einige Definitionen über die Grenzwertberechnung zu lernen und das sind dazu die ersten Aufgaben. Mein Problem ist, dass ich wenig Erfahrung mit der Berechnung von Grenzwerten habe und eigentlich gar nicht weiß wie ansetzen!
Bei der Aufgabe 1 scheint mir der Grenzwert 0 und beu Aufgabe 2 0. Da wir gelernt haben dass jede geometrische Folge die eine nte Wurzel hat eine Nullfolge ist.
Mit einem Danke im Voraus für eure Hilfe
Michael
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Fr 02.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst doch den GW nicht vermuten, sondern beweisen!
a) bei Differenz (oder Summe) von Wurzeln lohnt es sich immer mit der Summe (Differenz) zu erweitern. Dann kann man den Zähler ausrechnen und den Nenner abschätzen.
b) das mit geom. Folge von Wurzeln versteh ich nicht. klar ist: wenn da nur [mm] 5^n [/mm] unter der Wurzel stünd wär der GW=5 nur [mm] 7^n [/mm] wär er 7, da muss er ja wohl größer als 7 sein!
3) mus man sicher umformen, probier mal rum, ich hab dazu grad keine Lust.
4) die Klammer ausquadrieren und in 3 Summen teilen, die einzeln ansehen.
Frage: Wie kommt man ins Hauptstudium ohne vorher mit GW mal gefüttert worden zu sein?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Mike_1988 |
Zuerst einmal danke für deine extrem schnelle antwort!
Eventuell hab ich die Einteilungen bei der Anmeldung etwas falsch verstanden, aber mein hauptstudium ist seit einem Monat Mathematik und von den Folgen höre ich jetzt zum ersten mal.
Aber das ist nicht so wichtig.
Mein Problem ist jetzt nur wenn ich zB bei der Aufgabe 1 die erste Wurzel dreinmal mit ihr multipliziere steht dann im Zähler der Ausdruck [mm] n^3+n^2+1 [/mm] und im nenner [mm] (3sqrt(n^3+n^2+1)^2). [/mm]
ich würde dann im zähler [mm] n^3 [/mm] herausheben und im Nenner das gleiche machen.
mein Problem ist aber dass ich dann nach dem kürzen im Zähler immer noch ein n stehen habe! Die anderen Glieder gehen ja alle gegen 0.
das gleiche kann ich ja auch mit dem anderen Bruch machen und n -n ergibt folglich 0.
Nur ich habe es in Maple ausprobiert und da ist der Grenzwert 1!
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Zuerst einmal danke für deine extrem schnelle antwort!
Eventuell hab ich die Einteilungen bei der Anmeldung etwas falsch verstanden, aber mein hauptstudium ist seit einem Monat Mathematik und von den Folgen höre ich jetzt zum ersten mal.
Aber das ist nicht so wichtig.
Mein Problem ist jetzt nur wenn ich zB bei der Aufgabe 1 die erste Wurzel dreinmal mit ihr multipliziere steht dann im Zähler der Ausdruck $ [mm] n^3+n^2+1 [/mm] $ und im nenner $ [mm] (3sqrt(n^3+n^2+1)^2). [/mm] $
ich würde dann im zähler $ [mm] n^3 [/mm] $ herausheben und im Nenner das gleiche machen.
mein Problem ist aber dass ich dann nach dem kürzen im Zähler immer noch ein n stehen habe! Die anderen Glieder gehen ja alle gegen 0.
das gleiche kann ich ja auch mit dem anderen Bruch machen und n -n ergibt folglich 0.
Nur ich habe es in Maple ausprobiert und da ist der Grenzwert 1!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Fr 02.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst mich falsch verstanden haben:
Du hast [mm] \wurzel{a}-\wurzel{b} [/mm] erweitern mit [mm] \wurzel{a}+\wurzel{b}
[/mm]
ergibt:
[mm] \bruch{a-b}{\wurzel{a}+\wurzel{b}} [/mm] dabei ist [mm] \wurzel{b}<\wurzel{a}
[/mm]
deshalb:
[mm] \bruch{a-b}{2*\wurzel{a}}<\bruch{a-b}{\wurzel{a}+\wurzel{b}}<\bruch{a-b}{2*\wurzel{b}}
[/mm]
damit solltst du weiter kommen, wenn du a und b einsetzt.
"Hauptstudium" heisst i.A. nicht das Hauptfach des Studiums, sondern der Teil nach dem Vordiplom. Aber das schadet ja nix. War wirklich nur ne Frage!
Gruss leduart
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Das Problem ist aber dass ich nicht eine quadratische sondern eine Wurzel zur 3ten Potzen habe!
Und soweit ich weiß wäre es ja kein problem die Grenzwerte zuerst für die einzelnen Wurzeln zu lösen und diese dann zu addieren oder in meinem fall halt zu subtrahieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Fr 02.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist das Problem, wenn man den Formeleditor nicht benutzt. ich hab das als [mm] 3*\wurzel{} [/mm] gelesen!
aber da beide Wurzeln einzeln gegen [mm] \\infty [/mm] laufen, hilft es dir nix die einzelnen Grenzwerrte zu kennen : n-n hat den GW=0 obwohl die einzelnen gegen [mm] \infty [/mm] gehen 1,1n-n geht gegen [mm] \infty, [/mm] die einzelnen auch
Du musst also schon ein Argument, oder Rechnung finden, um die Konvergenz zu zeigen. ich hab heut nacht keine Lust mehr dazu.
[mm] \wurzel[3]{n} [/mm] klick mal dadrauf, dann siehst du wie man dritte Wurzeln schreibt!
Gruss leduart
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Naja trotzdem danke. Ich habe nur leider noch immer keine gute Idee wie ich das lösen soll.
Und das mit der 3ten Wurzel tut mir leid. Bin wie du ja weißt ganz neu hier und hab die funktion nirgends gefunden!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mike,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Es gilt ja: [mm] $x^3-y^3 [/mm] \ = \ [mm] (x-y)*\left(x^2+x*y+y^2\right)$
[/mm]
Erweitere den Ausdruck bei Deiner 1. Aufgabe mit [mm] $\left(\wurzel[3]{n^3+n^2+1}\right)^2+\wurzel[3]{n^3+n^2+1}*\wurzel[3]{n^3 - 2\cdot{}n^2 +1}+\left(\wurzel[3]{n^3 - 2\cdot{}n^2 +1}\right)^2$ [/mm] .
Anschließend im Nenner [mm] $n^2$ [/mm] ausklammern ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Mike_1988 |
Riesen Danke für den Ansatz. Ich konnte es jetzt endlich lösen. Mein Problem was, dass ich den Ansatz nicht kannte und so einfach nicht mehr weiter kam!
Hast du eventuell auch noch eine idee zum 2 und 3ten Bsp? Beim zweiten hätte ich mir eventuell gedacht binomischer Lehrsatz nur da komm ich auch nicht viel weiter. und zum 3ten habe ich leider überhaupt keine Idee!
Nochmals großes Danke ihr seit meine retter!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mike!
[mm] $$\wurzel[n]{5^n + 7^n} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{7^n*\left(\bruch{5^n}{7^n}+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{7^n}*\wurzel[n]{ \left(\bruch{5}{7}\right)^n+1 } [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mike!
Bringe die beiden Brüche auf einen Hauptnenner und fasse sie zusammen. Welches ist die höchste Potenz von $n_$ in Zähler und Nenner?
Gruß
Loddar
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Also wenn ich es ausmultipliziere bleibt mir im Zähler ein [mm] n^3 [/mm] und im Nenner ein [mm] n^3 [/mm] stehen!
wenn man dann die relevanten ausdrücke anschaut bleibt bei mir stehen:
(1-3*arctan(n)) ich habe das jetzt in meinen taschenrechner eingesetzt und sehe dass die Folge gegen -3,71 konvergiert! Was logisch ist das der arctan nur im bereich - [mm] \pi [/mm] /2 und + [mm] \pi [/mm] / 2 definiert ist. somit ist der grenzwert 1 - 3 * [mm] \pi [/mm] /2 !
Vielen Dank!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mike!
Ist oben die Aufgabenstellung korrekt wiedergegeben? Ich erhalte als höchste Potenz im Zähler nämlich [mm] $n^{\red{4}}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Mike_1988 |
Das [mm] n^4 [/mm] fällt heraus. da [mm] 2*n^4 [/mm] - 2*n * [mm] n^3 [/mm] = 0
Das hasst du eventuell übersehen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mike!
Du hast Recht mit dem [mm] $n^4$ [/mm] , da hatte ich nicht richtig aufgepasst.
Allerdings erhalte ich als Grenzwert einen positiven Wert mit:
[mm] $$3*\bruch{\pi}{2}-1 [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ +3.712$$
Da musst Du Dich beim Ausmultiplizieren irgendwo mit den Vorzeichen vertan haben.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Mike_1988 |
Danke für die ganze Hilfe und deine viele Arbeit!
Ich war so blöd und hab das Minus vor dem Bruchstrich dann vor lauter eifer übersehen :) dummer fehler mit großer auswirkung!!
lg Michael
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Bei der Aufgabe 4 bin ich es so angegangen dass ich für k die Summe eingesetzt habe also zB k = (n*(n+1)) /2 etc. und dann [mm] n^3 [/mm] heraushebe un daraus a = 1/2 folgt!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mike!
Deine (kurzen) Ausführungen für den Lösungsweg klingen richtig. Und ich habe denselben Grenzwert erhalten.
Gruß
Loddar
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