www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Berechnung von Grenzwerten
Berechnung von Grenzwerten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Berechnung von Grenzwerten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:51 Do 07.11.2013
Autor: mtr-studi

Aufgabe
Berechne folgende Grenzwerte, falls diese exisitieren.

(1)
[mm] \lim_{k \rightarrow \infty}{\frac{2k(1+k)^k}{k^{k+1}}} [/mm]

(2)
[mm] \lim_{k \rightarrow \infty}{\frac{k+(-1)^k}{k^2+1}} [/mm]

ich habe ein Problem bei einer Aufgabe mit Grenzwerten

In beiden Fällen wäre ich hier ja bei einem [mm] \frac{\infty}{\infty}, [/mm] was bietet sich hier zur Umformung an?
Dürfte man bei der ersten Aufgabe zuerst das k ausklammern und dann kürzen? Dann hätte ich unten wenigstens einen konstanten Wert mit [mm] 1^{k+1}. [/mm]

Würde es bei der 2. Aufgabe auch einfach nur aufs Ausklammern hinauslaufen oder muss man noch speziell auf das [mm] (-1)^k [/mm] eingehen?

Vielen Dank im Voraus!


        
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: zu Aufgabe (1)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:56 Do 07.11.2013
Autor: Roadrunner

Hallo mtr-studi!



>  [mm]\lim_{k \rightarrow \infty}{\frac{2k(1+k)^k}{k^{k+1}}}[/mm]
>
>  Dürfte man bei der ersten Aufgabe zuerst das k
> ausklammern und dann kürzen?

[ok]


> Dann hätte ich unten wenigstens einen konstanten Wert mit [mm]1^{k+1}.[/mm]

[eek] Wie bitte?

Nein - im Nenner gilt gemäß den allseits bekannten MBPotenzgesetzen:

[mm] $k^{k+1} [/mm] \ = \ [mm] k^k*k^1 [/mm] \ = \ [mm] k*k^k$ [/mm]

Nun kannst Du wirklich kürzen.

Wenn Du den Rest dann in eine Klammer schreibst, sollte ein bekannter Grenzwert entstehen.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 Do 07.11.2013
Autor: mtr-studi

Also eigentlich sollte da ja als Ergebnis 2 e rauskommen, aber entspricht
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}2 (\frac{1+k}{k})^2 =\limes_{k\rightarrow\infty}2 (1+\frac{1}{k})^2 [/mm] denn denn dem gleichen wie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}2 (1+\frac{x}{n})^2 [/mm] ?

Bei der anderen Form haben wir ja noch ein x und hier eine Konstante.

Vielen Dank!!

Bezug
                        
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: falscher Exponent
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Do 07.11.2013
Autor: Roadrunner

Hallo mtr-studi!


> Also eigentlich sollte da ja als Ergebnis 2 e rauskommen,

[ok] Genau!



> aber entspricht  [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}2 (\frac{1+k}{k})^2 =\limes_{k\rightarrow\infty}2 (1+\frac{1}{k})^2[/mm] denn denn dem gleichen wie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}2 (1+\frac{x}{n})^2[/mm]  ?

Aufgepasst. Der Exponent muss jeweils $k_$ lauten und nicht 2!


> Bei der anderen Form haben wir ja noch ein x und hier eine Konstante.

Betrachte den Spezialfall $x \ = \ 1$ und vergleiche!


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:09 Do 07.11.2013
Autor: mtr-studi

Achso es gilt also für alle x. :-)

Vielen Dank für die schnelle Antwort, hast mir sehr geholfen.

Bezug
                                        
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Ergänzung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:12 Do 07.11.2013
Autor: Roadrunner

Hallo mtr-studi!


Nur, damit hier kein Missverständnis aufkommt ... es gilt:

[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{\red{x}}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \exp(x) [/mm] \ = \ [mm] e^{\red{x}}$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                                
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:17 Do 07.11.2013
Autor: mtr-studi

Ok das ist wirklich gut zu wissen, denn ich dachte jetzt gerade, dass es einfach für alle x die eulersche Zahl ergeben würde, diese Annahme war ja falsch!
Danke

Bezug
        
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: zu Aufgabe (2)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 Do 07.11.2013
Autor: Roadrunner

Hallo mtr-studi!


>  [mm]\lim_{k \rightarrow \infty}{\frac{k+(-1)^k}{k^2+1}}[/mm]
>  
> Würde es bei der 2. Aufgabe auch einfach nur aufs
> Ausklammern hinauslaufen

[ok] Ja.


> oder muss man noch speziell auf das [mm](-1)^k[/mm] eingehen?

Nicht, wenn man richtig ausklammert und kürzt.

Klammere in Zähler und Nenner jeweils [mm] $k^2$ [/mm] aus.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:16 Do 07.11.2013
Autor: mtr-studi

[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \frac{k+(-1)^k}{k^2+1}=\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{k^2(\frac{1}{k}+\frac{(-1)^k}{k^2})}{k^2(1+\frac{1}{k^2})}=\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{\frac{1}{k}+\frac{(-1)^k}{k^2}}{1+\frac{1}{k^2}}=\frac{0}{1} [/mm]

Reicht das hier so?

Bezug
                        
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Ergebnis?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Do 07.11.2013
Autor: Roadrunner

Hallo mtr-studi!

> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{k+(-1)^k}{k^2+1}=\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{k^2(\frac{1}{k}+\frac{(-1)^k}{k^2})}{k^2(1+\frac{1}{k^2})}=\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{\frac{1}{k}+\frac{(-1)^k}{k^2}}{1+\frac{1}{k^2}}=\frac{0}{1}[/mm]
>
> Reicht das hier so?

Wenn Du nun noch das Endergebnis hinschreibst, ja. [ok]


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
        
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Do 07.11.2013
Autor: mtr-studi

Ok vielen Dank !!

Ich hatte noch zwei Grenzwerte, vielleicht könntest du dort auch kurz einen Blick auf meine Lösung werfen.

(1) [mm] \limes_{n\rightarrow 2+0} \frac{2x+1}{(x-2)}=\frac{4+1}{0}=\infty [/mm]

(2) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{cos(x)}{x^2+x+6}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{x^2(\frac{cos(x)}{x^2})}{x^2(1+\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2})}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{cos(x)}{x^2}}{(1+\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2})}=\frac{0}{1}=0 [/mm]

Ich habe noch dazugeschrieben |cos(x)| <= 1, reicht das aus?

Vielen Dank!

Bezug
                
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Do 07.11.2013
Autor: schachuzipus

Hallo mtr,


> Ok vielen Dank !!

>

> Ich hatte noch zwei Grenzwerte, vielleicht könntest du
> dort auch kurz einen Blick auf meine Lösung werfen.

>

> (1) [mm]\limes_{n\rightarrow 2+0} \frac{2x+1}{(x-2)}=\frac{4+1}{0}=\infty[/mm]

Achtung, die Limesvariable ist nicht n sondern x; ansonsten wäre der Term ja konstant ;-)

Das stimmt vom Ergebnis, ist aber nicht schön aufgeschrieben ...


>

> (2)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{cos(x)}{x^2+x+6}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{x^2(\frac{cos(x)}{x^2})}{x^2(1+\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2})}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{cos(x)}{x^2}}{(1+\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2})}=\frac{0}{1}=0[/mm] [ok]

>

> Ich habe noch dazugeschrieben |cos(x)| <= 1, reicht das
> aus?

Ja, das ist gut!

>

> Vielen Dank!

Gruß

schachuzipus

Bezug
                        
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Do 07.11.2013
Autor: mtr-studi

Wie könnte ich es besser aussehen lassen? :-)

Danke!

Bezug
                                
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Lösungsvorschlag
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Sa 09.11.2013
Autor: Roadrunner

Hallo mtr-studi!


Knackpunkt ist hier die Darstellung mit der Null im Nenner.

Eine Variante wäre hier eine Substitution:

[mm] $\limes_{x\rightarrow 2+0}\bruch{2x+1}{x-2} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{\red{n\rightarrow \infty}}\bruch{2*\red{\left(2+\bruch{1}{n}\right)}+1}{\red{\left(2+\bruch{1}{n}\right)}-2} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{4+\bruch{2}{n}+1}{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{5*n+2}{1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}(5*n+2) [/mm] \ = \ [mm] +\infty$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                        
Bezug
Berechnung von Grenzwerten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:16 Do 14.11.2013
Autor: mtr-studi

Ok, vielen Dank, ich habe es hinbekommen!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de