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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mo 09.10.2006 | | Autor: | madomat |
| Aufgabe | Die Funktionsschar lautet:
Fk(x) = [mm] 0,25x^{4} [/mm] + [mm] kx^{2} [/mm] - 2
A) Zeige, dass F k entweder eine oder drei Extremstellen besitzt. Für welche Werte von k ist dies jeweils der Fall?
B) Bestimme die Gleichung der geometrischen Ortslinie, auf der für k > 0 alle Extrema von fk liegen.
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Habe leider rein gar keine Ahnung wie man das macht, wurde uns nie gesagt. Also kann mir jemand das erklären mit Lösungsweg?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Mo 09.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin m.,
ür die erste aufgabe machst du eine ganz normale kurvendiskussion, einziger unterschied, du hast einen parameter k anstelle einer zahl.
[mm] f_{k}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}x^4 [/mm] + [mm] kx^2 [/mm] - 2
[mm] f_{k}'(x) [/mm] = [mm] x^3 [/mm] + 2kx
notwendige bed. f. extremwerte:
[mm] f_{k}'(x) [/mm] = 0
0 = [mm] x^3 [/mm] + 2kx
0 = [mm] x(x^2 [/mm] + 2k)
[mm] x_{1}= [/mm] 0
falls k [mm] \ge [/mm] 0 => keine weiteren nullstellen der ersten ableitung, also höchstens eine extremstelle
falls k<0 dann errechnen sich weitere nullstellen der ersten ableitung
[mm] 0=x^2 [/mm] + 2k
[mm] x^2 [/mm] = -2k
[mm] x_{1/2}= \pm \wurzel{-2k}
[/mm]
oki, soweit...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mo 09.10.2006 | | Autor: | madomat |
| Aufgabe | Die Funktionsschar lautet:
Fk(x) = $ [mm] 0,25x^{4} [/mm] $ + $ [mm] kx^{2} [/mm] $ - 2
B) Bestimme die Gleichung der geometrischen Ortslinie, auf der für k > 0 alle Extrema von fk liegen. |
Danke für die Antwort, habe A gelöst!
Kann mir jemand zu B helfen? Bzw zumindest mal erklären was so eine geometrische Ortslinie ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Mo 09.10.2006 | | Autor: | MyChaOS |
Die Ortslinie ist die Gerade/Kurve/Funktion auf der alle Scheitel-/Hoch- oder Tiefpunkte liegen
Da du in A berechnet hast, dass es für k> 0 nur ein Maximum gibt kannst du also eine Funktion Kurve angeben auf der die Extrema liegen. Normalerweise müsstest du jetzt die y-Koordinate des Extrempunktes in Abhängigkeit der x-Koordinate angeben. Hierzu k eliminieren, wenn ich mich jetzt ned irre, hab des schon lang ned mehr gemacht
in diesem Fall ist es aber ganz einfach da die x-Koordinate der Extrempunkte ja nicht mehr von k abhängt, sondern gilt x=0
==> die Extrempunkte der Schar liegen alle irgendwo bie x=0 also auf der y-Achse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Mo 09.10.2006 | | Autor: | madomat |
Leider hat sich jetzt folgendes geändert: wir sollen für k < 0 diese komische ortslinie bestimmen... so jetzt brauch ich doch die schwere variante
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Mo 09.10.2006 | | Autor: | MyChaOS |
Bei Drei extrema kannst du keine eizelne Ortskurve mehr aufstellen, sondern du musst das für jedes Extrema einzeln machen. Die von $ [mm] x_{1/2}= \pm \wurzel{-2k} [/mm] $ gleich, wie du gleich sehen wirst, das muss aber nicht immer sein!
Die einzelne bei x=0 bleibt natürlich bestehen.
so betrachten wir $x = [mm] \pm \wurzel{-2k}$:
[/mm]
wir lösen es nach k auf
==>
[mm] $(\pm x)^2 [/mm] = -2k$
durch das Quadrat fällt das [mm] $\pm$ [/mm] weg wodurch klar wird, dass [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] auf der selben kurve liegen
==>
$k = - [mm] \frac{1}{2} x^2$
[/mm]
==> damit gehen wir nun in die Funktion rein. g ist die funktion der Ortskurve:
$g(x) = [mm] f_{- \frac{1}{2} x^2}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}x^4 [/mm] - [mm] \frac{1}{2} x^2*x^2 [/mm] - 2$
wenn wir das nun vereinfachen kommen wir auf:
$g(x) = [mm] \bruch{1}{4}x^4 [/mm] + - [mm] \frac{1}{2} x^4 [/mm] - 2 = - [mm] \frac{1}{4}x^4 [/mm] - 2$
sollte stimmen wenn ich mich richtig errinnere, ist aber schon etwas her seit ich das zuletzt gemacht hab. Denk aber des stimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Mo 09.10.2006 | | Autor: | madomat |
Vielen Dank erstmal.
Ich werde es mir gleich nochmal anschauen!
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