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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 So 04.03.2007 | | Autor: | DieEva |
| Aufgabe | Lipnature.
Die Kosmetikfirma "lipnature", die sich auf die Produktion von Lippenpflegeprodukten spezialisiert hat, möchte ein neues Firmenlogo entwerfen. Die PR-Abteilung der Firma schlägt dem Vorstand vor, dem neuen Firmenlogo die Form eines "Kussmundes" zu verleihen.
Die Umrandung der Oberlippe entspricht dem Graph einer achsensymetrischen Funktion vierten Grades (f1), welche an der Stello x0= 4 eine Nullstelle und an der Stelle xE= -2 ein relatives Extremum besitzt. Zudem schneidet der Graph die y- Achse an der Stelle yS= 2.
Für die Randlinie der Unterlippe soll der Graph einer quadratischen Funktion f2 benutzt werden, die durch die Funktionsgleichung f2(x)= [mm] 1/8x^2 [/mm] - 2 gegeben ist.
b) bestimmen sie die gemeinsamen Schnittpunkte der Funktionen f1 und f2.
c) Bestimmen Sie alle relativen Extrempunkte sowie Wendepunkte der Funktion f1.
e) Berechnen Sie den Flächeninhalt des "Kussmundes" |
Hallo.
bei b) haben wir folgende gleichzusetztende Funktionen:
-1/64 [mm] x^4 [/mm] + 1/8 [mm] x^2 [/mm] + 2 = 1/8 [mm] x^2 [/mm] - 2
das ist auch schon mein Problem, ich muss nach x auflösen, das ist soweit klar. Aber ich weiss gerade nicht wie ich da ein x rausbekomme. Und wenn ich das x habe, ist das dann der x Punkt bei welcher sich die Funktion schneidet. Den muss ich dann in eine der beiden Funktionen nochmal einsetzten um den y-punkt zu erhalten richtig?
Nun zu c), da habe ich bisher folgendes:
f1(x) = -1/64 [mm] x^4 [/mm] + 1/8 [mm] x^2 [/mm] +2
f1´(x) = -3/64 [mm] x^3 [/mm] + 1/4 x
f1´´(x) = -3/32 [mm] x^2 [/mm] + 1/4
f1´´´(x)= -3/16 x
Um die Extrempunkte auszurechnen, muss ich die notwendige Bedinung f´(x)=0 ausrechnen.
-3/64 [mm] x^3 [/mm] + 1/4x = 0
x (-3/64 [mm] x^2 [/mm] + 1/4) = 0
x=0 v -3/64 [mm] x^2 [/mm] +1/4= 0
v [mm] x^2 [/mm] - 5/1/3= 0
v [mm] x^2 [/mm] = 5/1/3
v x = 2,309
Extremwerte:
f´´(x) </> 0
f´´(2,309) = -3/32 [mm] (2,309)^2 [/mm] + 1/4 = -0,249 # 0
f(2,309) = -1/64 [mm] (2,309)^4 [/mm] + 1/8 [mm] (2,309)^2 [/mm] +2 = 2,222
Extrema bei: (2,309/2,222)
Wendepunkte: f´´´(x) # 0
f´´´(2,309)= -3/16 (2,309) = -0,4329
hierbei weiss ich nicht ob das richtig ist, ich vermute mal nicht?!
ja und bei e) weiss ich leider gar keinen Ansatz, da es schon länger her ist wo wir das gemacht hatten und ich eigentlich so gar nichts mehr weiss wie das mit Integralrechnen ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Mo 05.03.2007 | | Autor: | Walde |
Hi Eva,
> Lipnature.
>
> Die Kosmetikfirma "lipnature", die sich auf die Produktion
> von Lippenpflegeprodukten spezialisiert hat, möchte ein
> neues Firmenlogo entwerfen. Die PR-Abteilung der Firma
> schlägt dem Vorstand vor, dem neuen Firmenlogo die Form
> eines "Kussmundes" zu verleihen.
> Die Umrandung der Oberlippe entspricht dem Graph einer
> achsensymetrischen Funktion vierten Grades (f1), welche an
> der Stello x0= 4 eine Nullstelle und an der Stelle xE= -2
> ein relatives Extremum besitzt. Zudem schneidet der Graph
> die y- Achse an der Stelle yS= 2.
> Für die Randlinie der Unterlippe soll der Graph einer
> quadratischen Funktion f2 benutzt werden, die durch die
> Funktionsgleichung f2(x)= [mm]1/8x^2[/mm] - 2 gegeben ist.
>
> b) bestimmen sie die gemeinsamen Schnittpunkte der
> Funktionen f1 und f2.
>
> c) Bestimmen Sie alle relativen Extrempunkte sowie
> Wendepunkte der Funktion f1.
>
> e) Berechnen Sie den Flächeninhalt des "Kussmundes"
> Hallo.
>
> bei b) haben wir folgende gleichzusetztende Funktionen:
>
> -1/64 [mm]x^4[/mm] + 1/8 [mm]x^2[/mm] + 2 = 1/8 [mm]x^2[/mm] - 2
>
> das ist auch schon mein Problem, ich muss nach x auflösen,
> das ist soweit klar. Aber ich weiss gerade nicht wie ich da
> ein x rausbekomme.
Bring alles auf eine Seite und substituiere [mm] x^2=z
[/mm]
Dann erhältst du eine in z quadratische Gleichung, die du mit der p,q-Formel lösen kannst (mit bis zu 2 Lösungen für z). Anschliessend musst du wieder zurücksubstituieren und erhältst so bis zu 4 Lösungen für x.
(Zur Kontrolle:Also Schnittstellen müssten [mm] x_1=-4 [/mm] und [mm] x_2=4 [/mm] rauskommen)
>Und wenn ich das x habe, ist das dann
> der x Punkt bei welcher sich die Funktion schneidet. Den
> muss ich dann in eine der beiden Funktionen nochmal
> einsetzten um den y-punkt zu erhalten richtig?
Ja.
>
> Nun zu c), da habe ich bisher folgendes:
>
> f1(x) = -1/64 [mm]x^4[/mm] + 1/8 [mm]x^2[/mm] +2
> f1´(x) = -3/64 [mm]x^3[/mm] + 1/4 x
Die erste Ableitung ist bereits falsch. -1/64 [mm] x^4 [/mm] abgleitet ist [mm] 4*(-1/64)x^3=-1/16x^3
[/mm]
Von daher kann der Rest leider auch nicht stimmen...
> f1´´(x) = -3/32 [mm]x^2[/mm] + 1/4
> f1´´´(x)= -3/16 x
>
> Um die Extrempunkte auszurechnen, muss ich die notwendige
> Bedinung f´(x)=0 ausrechnen.
>
> -3/64 [mm]x^3[/mm] + 1/4x = 0
> x (-3/64 [mm]x^2[/mm] + 1/4) = 0
> x=0 v -3/64 [mm]x^2[/mm] +1/4= 0
> v [mm]x^2[/mm] - 5/1/3= 0
> v [mm]x^2[/mm] = 5/1/3
> v x = 2,309
>
> Extremwerte:
> f´´(x) </> 0
>
> f´´(2,309) = -3/32 [mm](2,309)^2[/mm] + 1/4 = -0,249 # 0
> f(2,309) = -1/64 [mm](2,309)^4[/mm] + 1/8 [mm](2,309)^2[/mm] +2 = 2,222
>
> Extrema bei: (2,309/2,222)
>
> Wendepunkte: f´´´(x) # 0
> f´´´(2,309)= -3/16 (2,309) = -0,4329
>
> hierbei weiss ich nicht ob das richtig ist, ich vermute mal
> nicht?!
>
> ja und bei e) weiss ich leider gar keinen Ansatz, da es
> schon länger her ist wo wir das gemacht hatten und ich
> eigentlich so gar nichts mehr weiss wie das mit
> Integralrechnen ist.
Den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen bekommt man, indem man die Differenz der Fkten. bildet und von Schnittpunkt zu Schnittpunkt integriert, also [mm] \integral_{-4}^{4}{f_1(x)-f_2(x)dx}
[/mm]
Solltest du einen negativen Flächeninhalt rauskriegen, bedeutet das, dass [mm] f_1 [/mm] unterhalb von [mm] f_2 [/mm] lag. In diesem Fall, nimmt man einfach den Betrag des Wertes. (Kommt aber bei dir nicht vor, weil die Aufgabenstellung ja schon besagt, dass [mm] f_1 [/mm] die "Oberlippe" ist.
(Es müsste 25,6 rauskommen.)
L G walde
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