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Aufgabe 1
Stochastik Leistungskurs: Fertighäuser
Eine Fertighausfirma stellt Einfamilienhäuser her und verkauft mit besonderem Erfolg den Haustyp Belvedere mit 115 $ [mm] m^{2} [/mm] $ Wohnfläche, der für Familien mit zwei bis drei Kindern sehr geeignet ist. Deshalb wird Belvedere als Typ A mit zwei oder als Typ B mit drei Kinderzimmern
angeboten. Begründen Sie bitte bei der Bearbeitung der folgenden Aufgaben stets Ihre Modellbildung!
a) Bauherren, die sich für das Haus Belvedere entscheiden, wählen zu 17,3% den Typ B. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, mit denen von den nächsten 20 Kunden genau acht das Haus Typ B und höchstens 19 das Haus Typ A bestellen.
b) Zur Auswahl der Tapeten, Fliesen und sonstiger Ausstattungen werden 10 Bauherren für einen Tag in ein Bemusterungszentrum eingeladen. Jeder Bauherr benötigt durchschnittlich 24 Minuten pro Stunde einen Berater.
- Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei vier vorhandenen Beratern mind. ein Berater frei ist, wenn ein Bauherr eine Beratung wünscht.
- Ermitteln Sie die Anzahl der Berater, die sich im Bemusterungszentrum befinden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % ein Berater zur Verfügung steht, wenn eine Beratung gewünscht wird.
c) Die Firma überlegt, ob eine alternativ wählbare ökologische Wärmedämmung aus Hanf ins Programm aufgenommen werden sollte. Dies gilt als wirtschaftlich, wenn mindestens 20 % der Bauherren diese Wärmedämmung bestellen.
- Bei einer Umfrage während einer Ausstellung von Musterhäusern geben von 358 zukünftigen Bauherren 73 an, eine Wärmedämmung aus Hanf bestellen zu wollen. Die Fertighausfirma wünscht eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95,5 %. Berechnen Sie aus dem Umfrageergebnis ein Konfidenzintervall für den unbekannten Anteil derjenigen Hauskäufer, die eine Wärmedämmung aus Hanf bestellen würden und treffen Sie eine begründete Entscheidung darüber, ob die Firma die Wärmedämmung anbieten wird.
- Untersuchen Sie, ob die Entscheidung anders ausfällt, wenn sich die Firma mit einem Sicherheitsniveau von 68 % begnügt.
- Erläutern Sie, welcher Zusammenhang zwischen der Breite eines Konfidenzintervalls und dessen bestimmenden Größen besteht. Begründen Sie, welche Größe den entscheidenden Einfluss auf das Konfidenzintervall hat.
Aufgabe 2
Stochastik Grundkurs: Betriebsfeier
Für eine Betriebsfeier werden zwei Glücksspiele in die engere Wahl gezogen. Jeder Mitarbeiter darf die ausgewählte Variante einmal spielen.
Variante 1: Aus einer Urne mit 20 weißen und 30 schwarzen Kugeln werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
a) Eine Person zieht zwei Kugeln ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den gezogenen Kugeln mindestens eine weiße Kugel ist?
b) Für jede gezogene weiße Kugel gibt es ein Geschenk im Wert von 10 Euro, für eine schwarze Kugel nur ein Geschenk im Wert von 5 Euro. Mit welcher durchschnittlichen Ausgabe pro Mitarbeiter muss die Firmenleitung rechnen?
c) Da die Firma gute Geschäfte gemacht hat, beschließt die Leitung, den Gewinn für das Ziehen einer weißen Kugel so abzuändern, dass durchschnittlich 40 Euro pro Mitarbeiter als Spielgewinn ausgeschüttet werden. Berechnen Sie, welchen Wert muss das Geschenk beim Ziehen einer weißen Kugel jetzt haben?
Variante 2:
Zuerst wird ein Würfel geworfen, bei dem 4 Seiten mit "1" und 2 Seiten mit "2" gekennzeichnet sind. Erscheint die "1", darf der Kandidat aus einer Urne mit 7 weißen und 3 schwarzen Kugeln zweimal ohne Zurücklegen ziehen. Erscheint beim Würfel hingegen die "2", muss zweimal ohne Zurücklegen aus einer Urne mit 3 weißen und 7 schwarzen Kugeln gezogen
werden. Man gewinnt, wenn zwei weiße Kugeln gezogen werden.
d) Weisen Sie nach: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Glückspilz bei dieser Variante zwei weiße Kugeln zieht, ist gleich $ [mm] \bruch{1}{3}. [/mm] $
e) Die fünf Mitglieder der Geschäftsleitung spielen. Beschreiben Sie den Lösungsweg und ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten für die drei Ereignisse
A: Genau 2 Geschäftsführer gewinnen
B: Mindestens ein Geschäftsführer gewinnt
C: Bei 2 unmittelbar aufeinander folgenden Spielen treten stets unterschiedliche Ergebnisse auf (Gewinn oder Verlust).
f) Anschließend spielen die übrigen 100 Mitarbeiter der Firma auch mit. Berechnen Sie:
- Wie viele Gewinnfälle sind insgesamt unter allen Mitarbeitern und der Geschäftsführung
zu erwarten?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 100 Mitarbeitern der Firma ohne die Mitglieder der Geschäftsleitung mehr als 35 Gewinner sind?
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