Bernoulische Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Kuper |
| Aufgabe | Folgerungen aus Bernoulische Ungleichungen:
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt
[mm] 2\le (1+\bruch{1}{n})^{n} \le (1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie zunächst
[mm] (1-\bruch{1}{(n+1)^2})^{n+1} \ge 1-\bruch{1}{n+1}
[/mm]
und verwenden Sie die 3. Binomische Formel.
|
hat jemand eine Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Ich finde, es wird eine Spur einfacher, wenn man [mm]n[/mm] durch [mm]n-1[/mm] ersetzt, wenn man also
[mm]\left( 1 + \frac{1}{n-1} \right)^{n-1} \leq \ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \, , \ \ n \geq 2[/mm]
beweist. (Es geht also um die Monotonie der Folge [mm](a_n)[/mm] mit [mm]a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n[/mm].)
Bringt man die Terme auf einen gemeinsamen Nenner, dann hat man zu zeigen:
[mm]\left( \frac{n}{n-1} \right)^{n-1} \leq \ \left( \frac{n+1}{n} \right)^n[/mm]
Jetzt multipliziert man die Ungleichung mit [mm]\left( \frac{n-1}{n} \right)^n[/mm] durch. Man erhält die äquivalente Ungleichung
[mm]\frac{n-1}{n} \leq \left( \frac{n^2 - 1}{n^2} \right)^n[/mm]
Wenn du jetzt die Brüche ausdividierst, erkennst du hierin einen Spezialfall der Bernoullischen Ungleichung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Mo 16.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Kuper,
1) [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n}\ge1+\bruch{1}{n}n=2 [/mm] (Bernoulische Ungleichung)
2) [mm] (1-\bruch{1}{(n+1)^2})^{n+1}\ge1-\bruch{1}{(n+1)} [/mm] (Bernoulische Ungleichung)
3) [mm] (1-\bruch{1}{(n+1)^2})=(1-\bruch{1}{n+1})(1+\bruch{1}{n+1}) \Rightarrow
[/mm]
[mm] (1-\bruch{1}{n+1})^n(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}\ge1 [/mm] also
[mm] (1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}\ge(\bruch{1}{1-\bruch{1}{n+1}})^n=(1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
ich denke das wars
mfg ullim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin ullim!
> 1) [mm](1+\bruch{1}{n})^{n}\ge1+\bruch{1}{n}n=2[/mm] (Bernoulische
> Ungleichung)
bin einverstanden
> 2) [mm](1-\bruch{1}{(n+1)^2})^{n+1}\ge1-\bruch{1}{(n+1)}[/mm]
> (Bernoulische Ungleichung)
auch stimmig
> 3)
> [mm](1-\bruch{1}{(n+1)^2})=(1-\bruch{1}{n+1})(1+\bruch{1}{n+1}) \Rightarrow[/mm]
genau so weit war ich auch
Und ab hier glaub ich das du falsch liegst
> [mm](1-\bruch{1}{n+1})^n(1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}\ge1[/mm] also
wäre wünschenswert wenn das so ginge aber warum läßt du die [mm] -\frac{1}{n+1} [/mm] einfach weg. Denke das das nicht so geht. Bsp???:
Denn sonst wäre doch auch
[mm] 4\ge5-3\Rightarrow4\ge5 [/mm] richtig oder nicht
der rest stimmte dann wieder
> [mm](1+\bruch{1}{n+1})^{n+1}\ge(\bruch{1}{1-\bruch{1}{n+1}})^n=(1+\bruch{1}{n})^n[/mm]
>
> ich denke das wars
>
> mfg ullim
wenn die Lücke nicht wäre
MfG
Sashman
Komando zurück ich behaupte das gegentum.
Habe übersehen das der ullim die Potenz an der von mir als falsch gekennzeichneten Stelle verkleinert hat. *schäm*
MfG Sashman
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Mo 16.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Sashman,
kannst Du dann die bitte die Fehler Markierung zurücknehmen.
Danke mfg ullim
|
|
|
|
