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| Aufgabe | Von den 40 Beschäftigten einer Firma entscheidet sich jeder im Mittel zu 60%, mit dem eigenen Pkw anzureisen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit reichen die 30 Plätze des Parkplatzes aus?
b) Wie groß muss der Parkplatz sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% alle Beschäftigte, die mit dem Pkw gekommen sind, diesen dort abstellen können? |
Hallo,
um im "Tafelwerk zur Stochastik" die Werte nachschlagen zu können, muss man ja zunächst in folgende Formel einsetzen:
[mm]P_{n;p}(X = k)={n \choose k} * p^{k}*(1-p)^{n-k}[/mm]
Ich würde die Werte so einsetzen:
[mm]P_{40;30}(X \le 40)={40 \choose 30} * 0,6^{30}*(1-0,6)^{40-30}[/mm]
Ist das soweit richtig?
Das Tafelwerk wurde leider noch nicht geliefert, aber es ist wichtig, dass ich zumindest den Ansatz verstehe, denn die Werte nachzuschlagen, sollte nicht so schwer sein.
Vielen Dank.
Gruß
Ptolemaios
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Von den 40 Beschäftigten einer Firma entscheidet sich
> jeder im Mittel zu 60%, mit dem eigenen Pkw anzureisen.
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> a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit reichen die 30 Plätze
> des Parkplatzes aus?
> b) Wie groß muss der Parkplatz sein, damit mit einer
> Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% alle Beschäftigte,
> die mit dem Pkw gekommen sind, diesen dort abstellen
> können?
>
> Hallo,
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> um im "Tafelwerk zur Stochastik" die Werte nachschlagen zu
> können, muss man ja zunächst in folgende Formel
> einsetzen:
>
> [mm]P_{n;p}(X = k)={n \choose k} * p^{k}*(1-p)^{n-k}[/mm]
Dies wäre die Wahrscheinlichkeit dafür, dass (an einem
bestimmten Tag) genau k Beschäftigte mit dem eigenen
Wagen kommen.
> Ich würde die Werte so einsetzen:
>
> [mm]P_{40;30}(X \le 40)={40 \choose 30} * 0,6^{30}*(1-0,6)^{40-30}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Nein. Erstens interessiert hier ja gar nicht P(X [mm] \le [/mm] 40) ,
sondern P(X [mm] \le [/mm] 30) .
Zweitens muss man, um $\ [mm] P_{40;0.6}(X \le [/mm] 30)$ zu berechnen,
alle einzelnen Teilwahrscheinlichkeiten von k=0 bis zu k=30
aufsummieren:
$\ [mm] P_{40;0.6}(X \le [/mm] 30)\ =\ [mm] \summe_{k=0}^{30}P_{40;0.6}(X [/mm] = k)$
> Das Tafelwerk wurde leider noch nicht geliefert, aber es
> ist wichtig, dass ich zumindest den Ansatz verstehe, denn
> die Werte nachzuschlagen, sollte nicht so schwer sein.
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> Ptolemaios
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Danke Al. [smilie3]
Eine Sache verstehe ich aber nicht. Am Ende der belegten Formel habe ich dann im Exponenten (30-40) stehen, was rein rechnerisch -10 ergibt und das ergibt dann etwa 9536,74. Wie geht man mit diesem negativen Exponenten um?
Gruß
Ptolemaios
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> Eine Sache verstehe ich aber nicht. Am Ende der belegten
> Formel habe ich dann im Exponenten (30-40) stehen, was rein
> rechnerisch -10 ergibt und das ergibt dann etwa 9536,74. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Wie geht man mit diesem negativen Exponenten um?
das kann ich jetzt nicht nachvollziehen ...
gib doch bitte deine Rechnung an !
LG Al-Chw.
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Ich bin wirklich ein absoluter Stochastik-Anfänger und dank Eurer Hilfe ergibt sich langsam ein vollständiges Puzzle. Wenn ich Euch richtig verstanden habe, müsste meine belegte Formel dann so aussehen?
[mm]P_{30;40}(X \le 30)={30 \choose 40} * 0,6^{40}*(1-0,6)^{30-40}[/mm]
Mich macht es stutzig, dass im Exponenten 30-40 steht, was -10 ergibt. Folglich: [mm] $(0,4)^{-10}=9536,743164$
[/mm]
Kann das richtig sein?
Vielen Dank.
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> Wenn ich Euch richtig verstanden habe, müsste
> meine belegte Formel dann so aussehen?
>
> [mm]P_{30;40}(X \le 30)={30 \choose 40} * 0,6^{40}*(1-0,6)^{30-40}[/mm] ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
>
> Mich macht es stutzig, dass im Exponenten 30-40 steht, was
> -10 ergibt. Folglich: [mm](0,4)^{-10}=9536,743164[/mm]
Hallo Ptolemaios,
auf der linken Seite deiner Gleichung sollte anstatt [mm] P_{\red{30\,;\,40}} [/mm] (X [mm] \le [/mm] 30)
stehen: $\ [mm] P_{\blue{40\,;\,0.6}}$ [/mm] (X [mm] \le [/mm] 30)
(erster Parameter n, zweiter Parameter p !)
Mit den Bezeichnungen binompdf und binomcdf:
$\ [mm] P_{\blue{40\,;\,0.6}}$ [/mm] (X [mm] \le [/mm] 30) = binomcdf(40 , 0.6 , 30)
$\ =\ [mm] \summe_{k=0}^{30}$ [/mm] binompdf(40 , 0.6 , k)
$\ =\ [mm] \summe_{k=0}^{30} \pmat{40\\k}*0.6^k*(1-0.6)^{40-k}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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Danke Al,
meine Formel sieht dann so aus:
[mm]P_{40;0,6}(X \le 30)={40 \choose 30} * 0,6^{30}*(1-0,6)^{40-30}[/mm]
Okay, am Ende steht im Exponenten eine 10. Das heißt, ich müsste dann nur noch im Tafelwerk nachsehen...?
Gruß
Ptolemaios
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> Danke Al,
>
> meine Formel sieht dann so aus:
>
> [mm]P_{40;0,6}(X \le 30)={40 \choose 30} * 0,6^{30}*(1-0,6)^{40-30}[/mm]
N E I N !
Warum ignorierst du die notwendige Summenbildung so hartnäckig ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Do 07.10.2010 | | Autor: | Ptolemaios |
Sorry Al. Der Lehrer hat nur in der Definition, aber nie in den Aufgaben das Summenzeichen gebildet.
Ich werde ab jetzt aber immer deinen Ansatz verwenden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Do 07.10.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Al,
also soweit ich weiss, wird bei solchen Aufgaben für alle Werte [mm] $n\ge [/mm] 35$ über die Normalverteilung approximiert.
Meinst nicht auch?
MFG,
Gono.
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> Hallo Al,
>
> also soweit ich weiss, wird bei solchen Aufgaben für alle
> Werte [mm]n\ge 35[/mm] über die Normalverteilung approximiert.
> Meinst nicht auch?
>
> MFG,
> Gono.
Aha. Das ist natürlich auch eine Möglichkeit, den Rechen-
aufwand zu begrenzen. Vorläufig ging es hier aber einmal
um das Verständnis der exakten Binomialverteilung.
Für den Fall, dass k ganz klein oder dicht unterhalb n
liegt, würde ich übrigens auch bei größeren n-Werten
die exakte Rechnung vorziehen.
Woher hast du übrigens die Faustregel [mm] n\ge{35} [/mm] ?
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Do 07.10.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hi Al,
> Woher hast du übrigens die Faustregel [mm]n\ge{35}[/mm] ?
wie bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia zu lesen, wärs prima wenn gilt $np(1-p) [mm] \ge [/mm] 9$
Macht für die goldene Mitte von $p = [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] halt $n [mm] \ge [/mm] 36$, bzw $n > 35$
Da die Approximation zumindest noch gut ist, wenn [mm] $np\ge [/mm] 4$ und [mm] $n(1-p)\ge [/mm] 4$ ergibt sich da für $n>35$ immerhin ein Bereich von p von 0,1 - 0,9.
Für "radikale" p gehts zwar bei n knapp über 35 dann kaputt, aber das muss man halt wissen.
Je extremer p wird, umso grösseres n braucht man dann halt.
MFG,
Gono.
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> Hi Al,
>
> > Woher hast du übrigens die Faustregel [mm]n\ge{35}[/mm] ?
>
> wie bei
> Wikipedia
> zu lesen, wärs prima wenn gilt [mm]np(1-p) \ge 9[/mm]
>
> Macht für die goldene Mitte von [mm]p = \bruch{1}{2}[/mm] halt [mm]n \ge 36[/mm],
> bzw [mm]n > 35[/mm]
>
> Da die Approximation zumindest noch gut ist, wenn [mm]np\ge 4[/mm]
> und [mm]n(1-p)\ge 4[/mm] ergibt sich da für [mm]n>35[/mm] immerhin ein
> Bereich von p von 0,1 - 0,9.
>
> Für "radikale" p gehts zwar bei n knapp über 35 dann
> kaputt, aber das muss man halt wissen.
> Je extremer p wird, umso grösseres n braucht man dann
> halt.
>
> MFG,
> Gono.
Guten Abend Gono,
in typischen Aufgaben kommen natürlich "extreme" Werte
von p (zum Beispiel sehr kleine) sehr häufig vor.
Ich würde deshalb lieber bei der Forderung [mm]np(1-p) \ge 9[/mm]
bleiben !
LG Al
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> Von den 40 Beschäftigten einer Firma entscheidet sich
> jeder im Mittel zu 60%, mit dem eigenen Pkw anzureisen.
>
> a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit reichen die 30 Plätze
> des Parkplatzes aus?
> b) Wie groß muss der Parkplatz sein, damit mit einer
> Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% alle Beschäftigte,
> die mit dem Pkw gekommen sind, diesen dort abstellen
> können?
>
> Hallo,
>
> um im "Tafelwerk zur Stochastik" die Werte nachschlagen zu
> können, muss man ja zunächst in folgende Formel
> einsetzen:
>
> [mm]P_{n;p}(X = k)={n \choose k} * p^{k}*(1-p)^{n-k}[/mm]
>
> Ich würde die Werte so einsetzen:
>
> [mm]P_{40;30}(X \le 40)={40 \choose 30} * 0,6^{30}*(1-0,6)^{40-30}[/mm]
>
>
> Ist das soweit richtig?
>
> Das Tafelwerk wurde leider noch nicht geliefert, aber es
> ist wichtig, dass ich zumindest den Ansatz verstehe, denn
> die Werte nachzuschlagen, sollte nicht so schwer sein.
>
> Vielen Dank.
Hallo Ptolemaios,
für die Wahrscheinlichkeiten, die du hier brauchst, gibt es
übrigens spezielle Bezeichnungen, die sich im Zeitalter der
CAS-Rechner allmählich eingebürgert haben:
binompdf(n,p,k) = Wahrscheinlichkeit, dass bei einer
Bernoulli-Kette der Länge n und mit
der Einzel-Trefferwahrscheinlichkeit p
genau k Treffer erzielt werden
binomcdf(n,p,k) = Wahrscheinlichkeit, dass bei einer
Bernoulli-Kette der Länge n und mit
der Einzel-Trefferwahrscheinlichkeit p
höchstens k Treffer erzielt werden
In deinem Beispiel also:
[mm]P_{n;p}(X = k)={n \choose k} * p^{k}*(1-p)^{n-k}\ =\ binompdf(n,p,k)[/mm]
und dann als Lösung zu der Teilaufgabe a) :
P(30 Parkfelder reichen aus) [mm]\ =\ binomcdf(40,0.6,30)\ =\ \summe_{k=0}^{30}binompdf(40,0.6,k)[/mm]
Auf einfachen Taschenrechnern ist insbesondere die Be-
rechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten (binomcdf)
für größere Werte von n und k eine mühsame Angelegenheit.
Deshalb werden für diesen Zweck oft noch Tabellen verwendet.
LG Al-Chw.
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