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| Aufgabe | Definieren Sie auf dem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $([0,1],\mathcal{B} [0,1],\mathcal{U} [/mm] [0,1])$ Zufallsvariablen $X$ und $Y$ so, dass gilt:
(1) $X$ und $Y$ sind [mm] $Bernoulli\left(\frac{1}{2}\right)$ [/mm] verteilt,
(2) $P[X= 1,Y= 1] = p$ für ein beliebiges [mm] $p\in\left[ 0,\frac{1}{2}\right]$.
[/mm]
Sind $X$ und $Y$ unabhängig?
Definieren Sie nun weiter eine Zufallsvariable $Z$ so, dass $Z$ $Exp(1)$-verteilt und von $X$ unabhängig ist. Ist es sogar möglich, dass $X,Y$ und $Z$ unabhängig sind? |
Hallo!
Ich stehe komplett auf dem Schlauch, vielleicht kann mir jemand helfen:
Wenn die Zufallsvariablen $X$ und $Y$ [mm] $Bernoulli\left(\frac{1}{2}\right)$-verteilt [/mm] sein sollen, dann muß doch das $p$ aus Bedingung (2) auch [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] sein, oder? Dann könnte man doch etwas in der Art
[mm] $X(\omega)=\left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{falls } 0\le \omega \le\frac{1}{2} \\
0, & \mbox{falls } \frac{1}{2} <\omega \le 1
\end{matrix}\right.$
[/mm]
machen und $Y$ z.B. umgekehrt definieren?
Um die Unabhängigkeit zu zeigen muss man dann doch einfach alle 4 Kombinationsmöglichkeiten der Wahrscheinlichkeiten durchrechnen, oder?
Zum zweiten Teil der Aufgabe fällt mir gar nichts ein. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!
Grüße couldbeworse
Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforen gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Do 14.11.2013 | | Autor: | Fry |
Hey couldbeworse,
man soll ja gerade X und Y so definieren, dass die Wkeit unter (2) gleich einem gegebenen p ist. Dafür könnte man z.B. das X so definieren, wie du es gemacht hast und sich jetzt überlegen, wie man Y definieren muss damit das passt. Also man kann ja sagen,
dass Y die Form
[mm]Y(\omega)=1[/mm], falls [mm]d\le \omega\le d+\frac{1}{2}[/mm],
=0, falls [mm]\omega\in[0,1]\setminus[d,d+\frac{1}{2}][/mm]
haben soll,
wobei [mm]0\le d\le \frac{1}{2}[/mm] fest.
Jetzt entspricht die Wkeit, dass [mm]X=Y=1[/mm] ja dem Schnitt der Intervalle [mm][0,\frac{1}{2}][/mm] und [mm][d,d+\frac{1}{2}][/mm]:
[mm]P(X=1,Y=1)=\lambda([d,d+\frac{1}{2}]\cap[0,\frac{1}{2}])=\frac{1}{2}-d[/mm]
Diese Wkeit soll [mm]=p[/mm] sein. Also ist [mm]d=\frac{1}{2}-p[/mm]
Bzgl. der Unabhängigkeit: [mm]P(X=i)*P(Y=j)=\frac{1}{4}[/mm] für [mm]i,j\in\{0,1\}[/mm]
[mm]P(X=1,Y=1)=p[/mm]
D.h. die Unabhängigkeit kann höchstens im Fall [mm]p=\frac{1}{4}[/mm] gegeben sein.
In diesem Fall gilt [mm] $P(X=i,Y=j)=\frac{1}{4}$ [/mm] für alle [mm] $i,j\in\{0,1\}$
[/mm]
Also sind X und Y unabhängig.
LG
Fry
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Hallo Fry!
Jetzt ist der Groschen gefallen, super erklärt - vielen Dank!
Mit dem zweiten Teil komme ich leider nicht weiter, da scheitere ich schon daran mir so eine Zufallsvariable zu definieren. Hast du vielleicht einen Tipp für mich?
Grüße couldbeworse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Fry |
Huhu,
also mit der Inversionsmethode (http://de.wikipedia.org/wiki/Inversionsmethode) könnte man
mittels [mm] $Z(\omega)=-\ln(1-\omega)$ [/mm] eine Exp(1)-verteilte Zufallsvariable auf dem gegebenen
W-Raum erzeugen (oder irre ich mich?) Wie man allerdings die Unabhängigkeit "erzwingen" soll, ist mir schleierhaft. Vielleicht kann da jemand anders helfen?
LG
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Hallo!
Das mit der Inversionsmethode hatten wir zwar noch nicht, aber ich habe keine Ahnung wie ich sonst so eine Zufallsvariable konstruieren soll. Jetzt stehe ich vor dem nächsten Problen, wie zeigt man denn die Unabhängigkeit (sofern sie gegeben ist) von $X$ und $Z$? Eine Zufallsvariable ist ja diskret und die andere stetig?
Grüße couldbeworse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 21.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 22.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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