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Nix rumgepostet.
Probe-Prüfung Stochastik Uni Zürich Aufgabe 6
Aufgabe:
Sei [mm]X_1 , ... , X_n [/mm] eine [mm]iid[/mm] Folge von [mm]Be (p) [/mm]-Zufallsgrössen
[mm]P[X = 1] = p = 1 - P[X = 0][/mm]
Eine Forscherin möchte jetzt einen Test durchführen.
Der Test sieht folgendermassen aus:
Die Nullhypothese [mm]H_0 \ : \ p \ = \ 0.45 [/mm] wird genau dann abgelehnt, wenn
[mm] \summe_{i=1}^{n} X_i \ \ge \ \bruch{n}{2} [/mm]
a. Berechnen Sie im Fall [mm]n \ = \ 2[/mm] die Grösse des Tests ("das [mm]\alpha[/mm]")
b. Berechnen Sie im Fall [mm]n \ = \ 100[/mm] die Grösse des Tests ("das [mm]\alpha[/mm]"). Benutzen Sie den [mm]CLT[/mm] als approximatives Verfahren.
Die ersten Schritte meiner Lösung:
Eine [mm]Be (p) [/mm]-Zufallsgrösse wird wohl von einem Bernoulli-Experiment herkommen, d.h. von einem Experiment, dass nur die zwei Ergebnisse p und q zulässt.
[mm]p + q = 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q = 1 - p [/mm]
[mm]p + (1 - p) = 1 [/mm]
[mm]iid[/mm] bedeutet hier, "independent identically-distributed" was gleichbedeutend ist mit "einzeln unabhängig voneinander verteilt", was eine Voraussetzung für eine Binomialverteilung ist.
Die beiden Hypothesen lauten :
[mm]H_0 \ : \ p \ = \ 0.45 [/mm] : Nullhypothese
[mm]H_1 \ : \ p \ \not= \ 0.45 [/mm] : Alternhativhypothese
Wir nehmen an, die Nullhypothese sei richtig.
Wir erhalten eine Binomialverteiluing:
[mm]P[X \ = k] \ = \ {n \choose k} \ * \ p^k * q^{n-k} [/mm]
[mm][/mm]
a. [mm]n \ = \ 2 [/mm]
[mm]P[X \ = 0] \ = \ {2 \choose 0} \ * \ 0.45^0 * 0.55^{2-0} \ = \ 0.3025 [/mm]
[mm]P[X \ = 1] \ = \ {2 \choose 1} \ * \ 0.45^1 * 0.55^{2-1} \ = \ 0.495 [/mm]
[mm]P[X \ = 2] \ = \ {2 \choose 2} \ * \ 0.45^2 * 0.55^{2-2} \ = \ 0.2025 [/mm]
Kontrolle:
[mm] \summe_{i=1}^{2}P[X \ = i] \ = \ 1 [/mm]
Ab hier schwimme ich und sehe nicht wie es weitere gehen sollte. Bitte nicht eine fertige Lösung posten, sondern nur einen Tipp oder eine Eselsbrücke, damit ich weiterknobeln kann.
Grüsse aus Zürich
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Hallo Beni,
Erst einmal möchte ich Dich auf einen kleinen Fehler aufmerksam machen. Du schriebst:
$ P[X \ = k] \ = \ {n [mm] \choose [/mm] k} \ [mm] \cdot{} [/mm] \ [mm] p^k \cdot{} q^{n-k} [/mm] $
Du meintest aber [mm] P[X_1 [/mm] + ... + [mm] X_n [/mm] = k]. Folgende Definition ist daher sinnvoll:
[mm] Y:=X_1 [/mm] + ... + [mm] X_n
[/mm]
Für den ersten Teil der Frage hast Du Dir dann schon fast selbst die Antwort gegeben.
Für n=2 gilt unter der Nullhypothese:
P[Y=2] = 0,2025 und weiters
[mm] (X_1+X_2)/2 [/mm] = Y/2 = 1 [mm] \ge [/mm] 0,5
Ebenso gilt für Y=1, dass Y/2 [mm] \ge [/mm] 0,5.
Hier wird die Nullhypothese also verworfen, nur wie wahrscheinlich?
Liebe Grüße,
Holy Diver
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Lieber Holy Diver
Danke für die Antwort.
Leider hat sie mir nicht weitergeholfen und meine Verwirrung ist jetzt noch viel grösser als am Anfang, was sicher nicht von Dir so beabsichtigt war 
Ich meinte nämlich gar nie
> Du meintest aber [mm]P[X_1[/mm] + ... + [mm]X_n[/mm] = k]. Folgende
> Definition ist daher sinnvoll:
> [mm]Y:=X_1[/mm] + ... + [mm]X_n[/mm]
denn ich verstehe überhaupt nicht, wie man darauf kommt und was das bedeutet.
Kannst du (oder jemand anderes) mir den Knoten lösen ?
Gruss aus Zürich
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Do 28.07.2005 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
zu a):
Überlege, wie die Prüfgröße (die Summe) im Fall n=2 verteilt ist! Wann ist diese Summe größer als 1? Die Wahrscheinlichkeiten aufaddiert müssten unter der Nullhypothese Dein alpha ergeben.
Schöne Grüße,
Matthias.
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Lieber Matthias
Danke für den Tipp. Vielleicht liegt es am herrlichen (aber heissen) Sommersonnentag, aber ich blicke überhaupt nicht durch. Mein Problem liegt an der Aufgabenstellung, die ich nicht verstehe. Mir scheint, dass der Dozent besonders witzig sein wollte, aber ich den Witz nicht geschnallt habe.
Gruss aus dem sommerlichen Zürich
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Do 28.07.2005 | | Autor: | djmatey |
das müsste so funktionieren:
[mm] \alpha [/mm] berechnet sich aus
P( [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} \ge \bruch{n}{2} [/mm] ) = [mm] \alpha [/mm] ,wobei ich von einem nicht-randomisierten Test ausgehe. Dabei ist P die Bernoulli - Vtlg. auf der Nullhypothese. Da n=2, folgt
[mm] \summe_{i=1}^{2} x_{i} \sim [/mm] IB(2;0,45)
[mm] \summe_{i=1}^{2} x_{i} [/mm] nimmt nur die Werte 0,1 oder 2 an,d.h. für 1 und 2 gilt
[mm] \summe_{i=1}^{2} x_{i} \ge [/mm] 1.
Also
IB(2;0,45)({1,2}) = 0,6975 = [mm] \alpha
[/mm]
Hoffe, das passt so und Dir ist geholfen 
LG Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:37 Mo 17.10.2005 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Matthias
Danke für Deinen Input. Ich bin zur Zeit mit ganz anderen Dingen als Mathi beschäftigt und habe daher den Kopf auch nicht frei, um über Deine Nachricht nachzudenken. Aber es war mir ein Anliegen, Dir fürs Mitdenken zu Danken.
Gruss aus der Schweiz
Beni
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