Bernoulli DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Betrachten Sie die folgende DGL von Bernoulli:
[mm] y'+g(x)*y+h(x)*y^{\alpha}=0, \alpha\not=0 [/mm] (1)
Führen Sie die Gleichung durch Multiplikation der Lösungen mit [mm] (1-\alpha)*y^{-\alpha} [/mm] und einer geeigneten Transformation [mm] z=y^{1-\alpha} [/mm] auf eine lineare DGL der Form:
z'=G(x)*z+H(x) (2)
zurück. Diskutieren SIe das Existenzgebiet der Lösung von (1), sowie die Rücktransformation einer Lösung z(x) von (2) on Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] beliebig, [mm] \alpha\ge0, \alpha \in \IZ. [/mm] (unterscheiden Sie zwischen [mm] \alpha [/mm] gerade und [mm] \alpha [/mm] ungerade. |
Ich habe jetzt erstmal die Gleichung (1) auf die Form (2) gebracht:
[mm] y'(x)=-g(x)*y-h(x)*y^{\alpha} [/mm] ------(multipliziert mit [mm] (1-\alpha)*y^{-\alpha})
[/mm]
[mm] =>(y^{1-\alpha})'=-g(x)*(1-\alpha)*y^{1-\alpha}-h(x)*(1-\alpha) ------(z=y^{1-\alpha})
[/mm]
[mm] =>z'=-g(x)*(1-\alpha)*z-h(x)*(1-\alpha)
[/mm]
Jetzt kann man diese DGL ja sicher lösen, aber wie? Muss ich zunächst den homogenen Teil lösen? Wie gehe ich mit dem g(x) um, wenn ich die integrieren muss, oder bin ich ganz auf dem falschen Weg?
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:09 Do 28.10.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Betrachten Sie die folgende DGL von Bernoulli:
> [mm]y'+g(x)*y+h(x)*y^{\alpha}=0, \alpha\not=0[/mm] (1)
> Führen Sie die Gleichung durch Multiplikation der
> Lösungen mit [mm](1-\alpha)*y^{-\alpha}[/mm] und einer geeigneten
> Transformation [mm]z=y^{1-\alpha}[/mm] auf eine lineare DGL der
> Form:
> z'=G(x)*z+H(x) (2)
> zurück. Diskutieren SIe das Existenzgebiet der Lösung
> von (1), sowie die Rücktransformation einer Lösung z(x)
> von (2) on Abhängigkeit von [mm]\alpha[/mm] beliebig, [mm]\alpha\ge0, \alpha \in \IZ.[/mm]
> (unterscheiden Sie zwischen [mm]\alpha[/mm] gerade und [mm]\alpha[/mm]
> ungerade.
> Ich habe jetzt erstmal die Gleichung (1) auf die Form (2)
> gebracht:
> [mm]y'(x)=-g(x)*y-h(x)*y^{\alpha}[/mm] ------(multipliziert mit
> [mm](1-\alpha)*y^{-\alpha})[/mm]
>
> [mm]=>(y^{1-\alpha})'=-g(x)*(1-\alpha)*y^{1-\alpha}-h(x)*(1-\alpha) ------(z=y^{1-\alpha})[/mm]
>
> [mm]=>z'=-g(x)*(1-\alpha)*z-h(x)*(1-\alpha)[/mm]
ich schreibe das hier mal anders hin, vielleicht siehst du es dann:
[mm] $y'=(\alpha-1)f(x)y+(\alpha-1)h(x)$
[/mm]
Das ist die Form einer inhomogenen linearen Differenzialgleichung.
> Jetzt kann man diese DGL ja sicher lösen, aber wie? Muss
> ich zunächst den homogenen Teil lösen? Wie gehe ich mit
> dem g(x) um, wenn ich die integrieren muss, oder bin ich
> ganz auf dem falschen Weg?
ich denke nicht - aber das ist nur meine Meinung 
LG
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Do 28.10.2010 | | Autor: | peeetaaa |
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Mo 01.11.2010 | | Autor: | peeetaaa |
hab mich mit der aufgabe auch mal auseinander gesetzt...
hab die bernoulli dgl jetzt soweit umgeformt, dass ich auch auf
z' (1-a)*g(x)*z +(1-a)*h(x)=0 kam
=> z'= -(1-a)g(x)z -(1-a)h(x)
die homogene gleichung ist
z'= -(1-a)g(x)z
[mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = -(1-a)g(x)z
[mm] \bruch{1}{z} [/mm] dz = -(1-a)g(x) dx
[mm] \bruch{1}{z} [/mm] dz = (-1+a)g(x) dx
[mm] \bruch{1}{z} [/mm] dz = -g(x)+a*g(x) dx
und das müsste ich jetzt integrieren...
kann man das so machen?
danke schonmal..
gruß,
peeetaaa
|
|
|
| |
|
Hallo peeetaaa,
> hab mich mit der aufgabe auch mal auseinander gesetzt...
>
> hab die bernoulli dgl jetzt soweit umgeformt, dass ich auch
> auf
> z' (1-a)*g(x)*z +(1-a)*h(x)=0 kam
>
> => z'= -(1-a)g(x)z -(1-a)h(x)
>
> die homogene gleichung ist
> z'= -(1-a)g(x)z
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = -(1-a)g(x)z
> [mm]\bruch{1}{z}[/mm] dz = -(1-a)g(x) dx
> [mm]\bruch{1}{z}[/mm] dz = (-1+a)g(x) dx
> [mm]\bruch{1}{z}[/mm] dz = -g(x)+a*g(x) dx
> und das müsste ich jetzt integrieren...
>
> kann man das so machen?
Ja.
>
> danke schonmal..
> gruß,
> peeetaaa
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Mo 01.11.2010 | | Autor: | peeetaaa |
okay danke
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{z} dz} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{-g(x) +a*g(x) dx}
[/mm]
=> ln(z) [mm] +c_1 [/mm] = [mm] \bruch{-1}{2}g^2(x) [/mm] + a^2g(x) + [mm] \bruch{1}{2}ag^{x} +c_2
[/mm]
=> ln|z|= [mm] \bruch{1}{2}g^2(x) [/mm] (-1+a) + a^2g(x) +c
muss ich das so machen?
|
|
|
| |
|
Hallo peeetaaa,
> okay danke
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{z} dz}[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}{-g(x) +a*g(x) dx}[/mm]
>
> => ln(z) [mm]+c_1[/mm] = [mm]\bruch{-1}{2}g^2(x)[/mm] + a^2g(x) +
> [mm]\bruch{1}{2}ag^{x} +c_2[/mm]
>
> => ln|z|= [mm]\bruch{1}{2}g^2(x)[/mm] (-1+a) + a^2g(x) +c
>
> muss ich das so machen?
Nein, das ist nicht richtig, denn
[mm]\left( \ \left( \ g\left(x\right) \ \right)^{2} \ \right)'=2*g\left(x\right)*g'\left(x\right)[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo Peon,
> Betrachten Sie die folgende DGL von Bernoulli:
> [mm]y'+g(x)*y+h(x)*y^{\alpha}=0, \alpha\not=0[/mm] (1)
> Führen Sie die Gleichung durch Multiplikation der
> Lösungen mit [mm](1-\alpha)*y^{-\alpha}[/mm] und einer geeigneten
> Transformation [mm]z=y^{1-\alpha}[/mm] auf eine lineare DGL der
> Form:
> z'=G(x)*z+H(x) (2)
> zurück. Diskutieren SIe das Existenzgebiet der Lösung
> von (1), sowie die Rücktransformation einer Lösung z(x)
> von (2) on Abhängigkeit von [mm]\alpha[/mm] beliebig, [mm]\alpha\ge0, \alpha \in \IZ.[/mm]
> (unterscheiden Sie zwischen [mm]\alpha[/mm] gerade und [mm]\alpha[/mm]
> ungerade.
> Ich habe jetzt erstmal die Gleichung (1) auf die Form (2)
> gebracht:
> [mm]y'(x)=-g(x)*y-h(x)*y^{\alpha}[/mm] ------(multipliziert mit
> [mm](1-\alpha)*y^{-\alpha})[/mm]
>
> [mm]=>(y^{1-\alpha})'=-g(x)*(1-\alpha)*y^{1-\alpha}-h(x)*(1-\alpha) ------(z=y^{1-\alpha})[/mm]
>
> [mm]=>z'=-g(x)*(1-\alpha)*z-h(x)*(1-\alpha)[/mm]
>
> Jetzt kann man diese DGL ja sicher lösen, aber wie? Muss
> ich zunächst den homogenen Teil lösen? Wie gehe ich mit
> dem g(x) um, wenn ich die integrieren muss, oder bin ich
> ganz auf dem falschen Weg?
Siehe diesen Post.
> Danke
Gruss
MathePower
|
|
|
|
