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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Bernoulli Schätzer
Bernoulli Schätzer < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Bernoulli Schätzer: Binomialkoeffizient
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:28 Mi 08.01.2020
Autor: magics

Aufgabe
Gegeben ist ein Bernoulli Experiment mit Ereignis $A$ und Gegenereignis [mm] $\overline{A}$. [/mm] D.h., dass bei bei n-facher Ausführung die Gesamtwahrscheinlichkeit für x-maligen Erfolg (also Ereignis $A$) wie folgt lautet:

$f(x) = [mm] $\vektor{n \\ k}p^x(1-p)^{n-k} [/mm]

Zu berechnen ist ein Schätzer für den Parameter $p$.

Hallo,

ich habe die Rechnung und das Ergebnis [mm] ($\hat{p} [/mm] = [mm] \bruch{k}{n}$) [/mm] bereits vorliegen. Was ich nicht verstehe ist, dass in der Definition der Bernoulliverteilung der Binomialkoffizient [mm] $\vektor{n \\ k}$ [/mm] enthalten ist und bei der Berechnung des Schätzer vom Autor einfach weggelassen wurde.

Der Autor beginnt (O-Ton):

Da das Ereignis $A$ dabei jeweils mit der Wahrscheinlichkeit p, das komplementäre Ereignis [mm] $\overline{A}$ [/mm] dagegen jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $q = 1 - p$ eintritt. ist die Gesamtwahrscheinlichkeit für k-mal Erfolg (Ereignis $A$) und (n - k)-mal Misserfolg (Ereignis [mm] $\overline{A}$) [/mm] durch das Produkt

[mm] $p^kq^{n-k} [/mm] = [mm] p^k(1-p)^{n-k}$ [/mm]

gegeben.


Aus diesem Ausdrück leitet der Autor direkt die Likelihood Funktion ab. Warum darf man hier [mm] $\vektor{n \\ k}$ [/mm] weglassen?

Gruß
Thomas

        
Bezug
Bernoulli Schätzer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Mi 08.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Gegeben ist ein Bernoulli Experiment mit Ereignis [mm]A[/mm] und
> Gegenereignis [mm]\overline{A}[/mm]. D.h., dass bei bei n-facher
> Ausführung die Gesamtwahrscheinlichkeit für x-maligen
> Erfolg (also Ereignis [mm]A[/mm]) wie folgt lautet:
>  
> [mm]f(x) =[/mm][mm] \vektor{n \\ k}p^x(1-p)^{n-k}[/mm]

Da ist ja einiges durcheinander gegangen… du musst dich mal entscheiden, ob du $x$ oder $k$ als Anzahl der Auftritte nehmen willst.
Hast du x, ist es:
[mm] \vektor{n \\ x}p^x(1-p)^{n-x}[/mm]

Nimmst du k, bekommst du entsprechend
[mm] \vektor{n \\ k}p^k(1-p)^{n-k}[/mm]

Aber bitte nicht mischen…

> ich habe die Rechnung und das Ergebnis ([mm]\hat{p} = \bruch{k}{n}[/mm])
> bereits vorliegen. Was ich nicht verstehe ist, dass in der
> Definition der Bernoulliverteilung der Binomialkoffizient
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] enthalten ist

Ist es nicht.
Die Definition oben ist keine []Bernoulliverteilung sondern eine []Binomialverteilung, da die Summe von Bernoulliverteilungen binomialverteilt ist.

Warum kann ich eine mehrfache Ausführung von Bernoulli-Experimenten als Summe modellieren?
Ganz einfach: ich betrachte [mm] $X_i [/mm] = [mm] 1_A$, [/mm] d.h. die Zufallsvariable, die 1 ist, wenn A eingetreten ist und 0 sonst.
Dann ist [mm] X_i [/mm] Bernoulli-Verteilt, wenn A es ist und die Anzahl der Auftritte von A ist dann einfach [mm] $\summe_{i=1}^n X_i$ [/mm]

Und diese Summe ist nun binomialverteilt. Warum?
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Versuchen exakt k-mal A bei vorher bestimmten Experimenten eintritt, ist: [mm] $p^k(1-p)^{n-k}$ [/mm]

"vorher bestimmten Experimenten" meint halt, dass man sich die k Experimente, bei denen A auftreten soll, vorher festlegt bspw. "alle k Auftritte waren zu Beginn" oder "alle k Auftritte waren am Ende", d.h. die Wahrscheinlichkeit oben stimmt nur, wenn man sich vorab festlegt, in welchen der n Experimente die k Auftritte von A eintreten sollen.

Wie viele Möglichkeiten haben wir denn nun die k Experimente aus unseren n auszusuchen? [mm] \vektor{n \\ k} [/mm]

D.h. insgesamt (d.h. ohne Festlegung, wann A auftreten soll) beträgt die Wahrscheinlichkeit, von k Auftritten unter n Versuchen dann: [mm] $\vektor{n \\ k}p^k(1-p)^{n-k}$ [/mm]

> und bei der Berechnung des
> Schätzer vom Autor einfach weggelassen wurde.

Das liegt nun daran, dass du einen Schätzer hast, der ja aus einer konkreten vorgegebenen Kombination die Auftrittswahrscheinlichkeit $p$ bestimmen soll.
D.h. in welchen von den Experimenten A auftritt ist dann nicht mehr beliebig, sondern du betrachtest einen fixen, bereits festgelegten Ablauf von n Experimenten, in denen bereits klar ist, wann A aufgetreten ist.

Nach obigem ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass exakt dieser Ablauf eingetreten ist eben [mm] $p^k(1-p)^{n-k}$. [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Bernoulli Schätzer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:53 Mi 08.01.2020
Autor: magics

Hallo Gono,

vielen Dank! Das hat mir sehr geholfen.

Im Wiki-Artikel zu Bernoulli-Verteilung steht auch


Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung für [mm] {\displaystyle n=1}n=1. [/mm] Mit anderen Worten, die Summe von unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen mit identischem Parameter [mm] {\displaystyle p}p [/mm] genügt der Binomialverteilung, demnach ist die Bernoulli-Verteilung nicht reproduktiv. Die Binomialverteilung ist die [mm] {\displaystyle n}n-fache [/mm] Faltung der Bernoulli-Verteilung bei gleichem Parameter [mm] {\displaystyle p}p [/mm] bzw. mit gleicher Wahrscheinlichkeit [mm] {\displaystyle p}p. [/mm]


Und ja, ich werde diese Indizes nicht mehr mischen! :)

lg
Thomas

Bezug
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