Bernoulli Ungleichung? < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N mit n ≥ 2 gilt:
(1 + 1 /n −1) ^n−1 < (1 + [mm] 1/n)^n [/mm] < 3 .
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Hi,
ich hab Probleme bei oben stehender Aufgabe, wäre super, wenn Ihr mir helfen könntet!
Ich bekomme keinen richtigen Ansatz hin, da ich momentan bei Ana gar nichts mehr verstehe!
Meine Idee wäre die Ungleichung von Bernoulli für die erste Ungleichung zu verwenden, aber wie funktioniert das?
Wenn mir jemand helfen kann, dann bitte ausführliche Erklärungen, da ich sonst nichts auf die Reihe bringe! Umso weiter Ihr mir helft umso besser, dann kann ich es nachvollziehen und verstehe es vielleicht auch!
Danke
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Für n>1 gilt wegen der Bernoulli-Ungleichung
(1 - [mm] \bruch{1}{n^{2}} )^{n} [/mm] > [mm] \bruch{n-1}{n}
[/mm]
Da [mm] \bruch{n}{n-1} [/mm] > 0, kannst du obige Ungleichung mit [mm] \bruch{n}{n-1} [/mm] multiplizieren, ohne dass sich das Ungleichheitszeichen umdreht.
Was du dann erhältst, solltest du so umformen, dass deine erste Ungleichung folgt. Diese gilt dann für alle n>1.
Das bedeutet, dass die Folge [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] streng monoton wachsend ist. Offensichtlich ist sie nach unten durch 0 beschränkt, da alle Folgenglieder positiv sind. Nach oben ist sie durch das Folgenglied mit n=2 beschränkt. Für n=2 erhält man das Folgenglied [mm] 1,5^{2} [/mm] = 2,25. Also ist diese Folge konvergent (Grenzwert = e = 2,71828....).
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