Berührpunkt mit x-Achse < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für t>0 ist die Fkt. f(t) gegeben durch
f t(x)= [mm] (1/16)x^4 [/mm] - 0,5tx²+t²
Ihr Schaubild ist K(t)
Zeigen Sie: K(t) berührt die x-Achse. |
Hallo,
steh gerade auf dem Schlauch, habe aber schon ft'(x)
gebildet.
Wie geht es jetzt weiter ??
Muss ich den Satz vom Nullprodukt oder den Ausdruck under
der Diskriminante anwenden um zu beweißen ??
Würde mich freuen, wenn ihr weiterhelfen könntet.
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Für t>0 ist die Fkt. f(t) gegeben durch
> f t(x)= [mm](1/16)x^4[/mm] - 0,5tx²+t²
> Ihr Schaubild ist K(t)
>
> Zeigen Sie: K(t) berührt die x-Achse.
Was heißt denn diese Aufgabenstellung? gut, ich gebe zu, berühren bedeutet auch, dass dort die Steigung gleich sein soll, wollen wir mal nicht so sein, aber prinzipiell sollst du einen ganz einfachen Schnittpunkt ausrechnen!
> Hallo,
> steh gerade auf dem Schlauch, habe aber schon ft'(x)
> gebildet.
Immer gut, erstmal irgendetwas zu machen, in der Hoffnung, man braucht es später :D. Aber in der Tat könnte es sich später als nützlich erweißen.
>
> Wie geht es jetzt weiter ??
> Muss ich den Satz vom Nullprodukt oder den Ausdruck under
> der Diskriminante anwenden um zu beweißen ??
>
> Würde mich freuen, wenn ihr weiterhelfen könntet.
> Gruß
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Wie wäre es mit den Ansätzen:
[mm] f_t(x)=0 [/mm] und [mm] f'_(x_0)=0
[/mm]
Wenn der Graph die x-Achse berühren soll, muss er da ja auch die Steigung 0 haben, da die x-Achse selbst dort die Steigung 0 hat, demzufolge handelt es sich natürlich um einen Extrempunkt.
Ersteres wirst du über eine Substitution lösen können (biquadratische Gleichungen?!) und zweiteres wirst du durch Polynomdivision schaffen.
Ich korrigiere, die Ableitung ist ja so einfach, dass du Ausklammern kannst ;)
Mit anderen Worten: Zeige, dass es unabhängig von t immer einen Tiefpunkt gibt, der auf der x-Achse liegt (dessen x-Wert zwar wandert, dessen y-Wert aber immer 0 sein wird)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Do 13.01.2011 | | Autor: | Steffen-91 |
Klar, das wollte ich noch schreiben.
Wenn ich diesen Ausdruck dann gleich = 0 setze ist die Frage beantwortet oder noch nicht ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Do 13.01.2011 | | Autor: | Adamantin |
Wenn du mit der Bedingung f'(x)=0 eine Lösung für t>0 erhälst, ist noch nicht automatisch bewiesen, dass dies AUF der x-Achse liegt. Dazu müsstest du entweder den y-Wert bestimmen, der sich als 0 erweisen muss, oder du machst vorher f(x)=0 und beide Punkte stimmen überein, dann wäre x-Wert für den Schnittpunkt identisch mit dem x-Wert für den Extremwert und das kann nur auf der x-Achse sein (was sich darin zeigt, dass du hier eine Doppel-NST nachweisen wirst ;) )
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Hi,
könntest du mir vllt. anhand dem Beispiel weiterführen, wie du das verstehst, weil ich steh gerade schräg :-D
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> Hi,
> könntest du mir vllt. anhand dem Beispiel weiterführen,
> wie du das verstehst, weil ich steh gerade schräg :-D
Besser als auf dem Kopf ;)
graphen kannst du dir ja selber anfertigen, mit wolframalpha.com oder einer kostenlosen Software wie funkyplot, das spare ich mir jetzt.
[mm] $f_t(x)=\bruch{1}{16}x^4-\bruch{1}{2}tx^2+t^2$
[/mm]
[mm] $f'_t(x)=\bruch{1}{4}x^3-tx$
[/mm]
1. Schnittpunkte
[mm] $\bruch{1}{16}x^4-\bruch{1}{2}tx^2+t^2=0$
[/mm]
[mm] $x^2=z$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{16}z^2-\bruch{1}{2}tz+t^2=0$
[/mm]
[mm] $z_{1/2}=4t \pm \wurzel{16t^2-16t^2}$
[/mm]
[mm] $z_{1/2}=4t$ [/mm] (Doppelnullstelle)
[mm] $x^2=4t \gdw x_{1/2}=\pm 2\wurzel{t}$
[/mm]
Demnach gibt es zwei Schnittpunkte mit der x-Achse bei [mm] \pm 2\wurzel{t}
[/mm]
Nun könnte man gleich den x-Wert in die Ausgangsgleichung einsetzten und es würde sich y=0 ergeben, aber das wäre langweilig.
2. Überprüfung der Steigung in diesem Punkt.
Wir haben die gesuchten x-Werte und setzen diese direkt in f'(x) ein.
[mm] $f'(2\wurzel{t})=\bruch{1}{4}*8*t*\wurzel{t}-2t\wurzel{t}=0$
[/mm]
[mm] $f'(-2\wurzel{t})=-\bruch{1}{4}*8*t*\wurzel{t}+2t\wurzel{t}=0$
[/mm]
Die Steigung beträgt 0, damit handelt es sich um mögliche Extrema und in Verbindung mit den Ergebnissen aus 1 folgt, dass sie gleichzeitig Schnittstellen mit den x-Achsen sind, daher muss es sich um Berührungspunkte und damit Tiefpunkte handeln.
Alternative: Allgemeine Bestimmung von NST der 1. Ableitung:
[mm] $f'_t(x)=\bruch{1}{4}x^3-tx=0$
[/mm]
[mm] $x*(\bruch{1}{4}x^2-t)=0$
[/mm]
[mm] $x_1=0 \vee x^2=4t \gdw x_{2/3}=\pm 2\wurzel{t}$
[/mm]
Demnach gibt es drei Extrema, einer liegt bei [mm] x_1=0, [/mm] unabhängig von t, die anderen beiden liegen genau an den x-Werten, wie auch die Schnittpunkte => Berührungspunkte
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