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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Berührpunkte mit Kugel
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Berührpunkte mit Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Sa 04.02.2006
Autor: MasterEd

Aufgabe
Wir haben im Raum eine Kugel mit dem Mittelpunkt M(5|6|3) und dem Radius r=4 gegeben. (Der Ursprung liegt außerhalb der Kugel, da seine Entfernung von M größer als r ist.)
Bestimme drei Punkte auf der Kugeloberfläche, in denen die Tangente auch durch den Ursprung verläuft.

Wie macht man das? Ich habe keine Ahnung. (Ich habe diese Frage nirgends sonst gestellt!)

        
Bezug
Berührpunkte mit Kugel: Berührungspunkt betrachten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 Sa 04.02.2006
Autor: moudi

Hallo MasterEd

Aus der Ebene sollte bekannt sein, dass im Berührungspunkt B die Tangente senkrecht steht zum Kreisradius MB. Das gleiche gilt für die Kurve.

Wenn $B(x,y,z)$ dann muss $B$ zwei Bedingungen erfüllen:
1) [mm] $|\overrightarrow{MB}|=4$ [/mm] und
2) [mm] $\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ [/mm]    (O: Koordinatenursprung)

Das ergibt ein  Gleichungssystem mit zwei Gleichungen für die unbekannten x, y, z. Davon sind 3 Lösungen gesucht.

Alternativ kann man sich auch überlegen, dass alle möglichen Berührungspunkte B einen Kreis bilden, dessen Mittelpunkt N auf der Geraden OM liegt. N muss man so bestimmen, dass
[mm] $|\overrightarrow{NM}||\overrightarrow{OM}|=r^2$ [/mm]  (Kathetensatz für das rechtwinklige Dreieck OMB.
Dann kann man die Normalebene (normal zu OM) durch N mit der Kugel schneiden, um den Kreis zu erhalten.


mfG Moudi

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