Beschränkte Operatoren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Di 17.09.2013 | | Autor: | rau_te |
Hallo,
ich habe ein paar Verständnisprobleme zum Thema "lineare Operatoren". Ich weiß, dass ein beschränkter Operator beschränkte Teilmengen seines Definitionsbereiches immer in beschränkte Mengen des Hilbertraumes abbildet. In ermangelung eines guten Buches zum Thema habe ich bei Wikipedia ein Beispiel gefunden:
Dort wird der Raum der einmal stetig auf einem Intervall [a,b] differenzierbaren Funktionen Betrachtet. Dann ist der Diff-Operator [mm]A : f \to f' [/mm] nicht beschränkt.
Mir ist klar, dass es Funktionen wie [mm]\sqrt x[/mm] gibt, deren Ableitung bezüglich der Sup-Norm unbeschränkt sind. Ist das schon der Grund?
In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass Beschränktheit und Stetigkeit in jedem Punkt äquivalente Eigenschaften sind. Heißt das nicht, dass der Diff-Operator für jede Funktion unstetig sein müsste? Das gilt beispielsweise für [mm]x^2[/mm] ja offensichtlich nicht.
Ich hoffe, ihr könnt mir etwas Sicherheit geben,
Danke,
raute.
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Di 17.09.2013 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
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> ich habe ein paar Verständnisprobleme zum Thema "lineare
> Operatoren". Ich weiß, dass ein beschränkter Operator
> beschränkte Teilmengen seines Definitionsbereiches immer
> in beschränkte Mengen des Hilbertraumes abbildet. In
> ermangelung eines guten Buches zum Thema
Heuser: Funktionalanalysis
> habe ich bei
> Wikipedia ein Beispiel gefunden:
>
> Dort wird der Raum der einmal stetig auf einem Intervall
> [a,b] differenzierbaren Funktionen Betrachtet. Dann ist der
> Diff-Operator [mm]A : f \to f' [/mm] nicht beschränkt.
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> Mir ist klar, dass es Funktionen wie [mm]\sqrt x[/mm] gibt, deren
> Ableitung bezüglich der Sup-Norm unbeschränkt sind. Ist
> das schon der Grund?
Nein: Du betrachtest den Raum der stetig differenzierbaren Funktionen. Fuer $0<a<b$ ist die Wurzelfunktion auf $[a,b]$ stetig differenzierbar und damit ihre Ableitung auf $[a,b]$ beschraenkt. Auf $[0,b]$ ist die Funktion nicht stetig differenzierbar. Daher ist dies so oder so kein Gegenbeispiel.
In dieser Richtung wirst Du auch kein Gegenbeispiel finden, da das Bild eines Elementes des einen Hilbertraums auch nur ein Element des anderen Raumes ergibt; und einelementige Mengen sind natuerlich beschraenkt.
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> In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass Beschränktheit
> und Stetigkeit in jedem Punkt äquivalente Eigenschaften
> sind. Heißt das nicht, dass der Diff-Operator für jede
> Funktion unstetig sein müsste? Das gilt beispielsweise
Nein: die Verneinung der Aussage lautet so: es gibt einen Punkt, in dem die beiden Eigenschaften nicht aequivalent sind. Also genuegt es die Existenz einer Unstetigkeitsstelle nachzuweisen.
Tatsaechlich reicht es aber aus Unstetigkeit in der Null nachzupruefen (wegen der Linearitaet).
> für [mm]x^2[/mm] ja offensichtlich nicht.
Hoffentlich taeuscht Du Dich hier nicht hinsichtlich der Offensichtlichkeit. Denn Du musst nachweisen, dass fuer jede Folge [mm] $(f_{n})$ [/mm] mit [mm] $\lim f_{n}= x^{2}$ [/mm] folgt, dass [mm] $\lim [/mm] f'_{n}= 2x$. Wenn man weiss wie es geht ist es zwar nicht schwer, aber offensichtlich ist das, finde ich, nicht. Z.B. speilt es eine Rolle, dass die Supremumsnorm benutzt wird und keine andere Norm.
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> Ich hoffe, ihr könnt mir etwas Sicherheit geben,
> Danke,
> raute.
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> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Di 17.09.2013 | | Autor: | rau_te |
Okay, ich glaube, ich verstehe meine Denkfehler. Ist alles noch etwas ungewohnt.
Ich versuche es noch einmal: Sei [mm]\mathcal H = C^1 (0,1][/mm] mit sup-Norm. Wählt man eine beschränkte Menge - z.B. [mm]\{f \in C(0,1]: sup_{x\in (0,1]}f \leq 1\}[/mm] dann ist das Bild der Menge nicht beschränkt, denn es gibt natürlich konstante Funktionen sodass [mm]f'=0[/mm], und solche wie [mm]f=sin(1/x)[/mm], die über alle Grenzen wachsen.
Wäre das nun ein korrektes Beispiel? Für den Fall mit einem abgeschlossenen Intervall kann ich mir vorstellen, dass es Funktionen gibt, für die Ableitungen beliebig groß werden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:51 Mi 18.09.2013 | | Autor: | hippias |
Ja, das ist viel besser, aber: $f:= [mm] \frac{1}{x}\in \mathcal [/mm] H = [mm] C^1 [/mm] (0,1]$, aber die Supremumsnorm von $f$ waere [mm] $\infty$. [/mm] D.h. [mm] $\mathcal [/mm] H$ ist gar kein normierter Raum.
Unbeschraenkter Operator heisst nicht, dass es ein $f$ gibt, sodass $||Af||= [mm] \infty$ [/mm] ist - so etwas gibt es in einem normierten Raum nicht - sondern dass es eine Folge beschraenkter [mm] $f_{n}$ [/mm] gibt so, dass [mm] $Af_{n}$ [/mm] nicht beschraenkt.
Mein Tip: Untersuche die Folge [mm] $f_{n}= x^{n}$. [/mm] auf $[0,1]$.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Mi 18.09.2013 | | Autor: | fred97 |
Dir scheint der Begriff des linearen beschränkten Operators nicht klar zu sein.
Seien (X, [mm] ||*||_X) [/mm] und (Y, [mm] ||*||_Y) [/mm] normierte Räume und A:X [mm] \to [/mm] Y linear, so nennt man A beschränkt, wenn es ein c [mm] \ge [/mm] 0 gibt mit:
[mm] ||Af||_Y \le c*||f||_X [/mm] für alle f [mm] \in [/mm] X.
Ist nun [mm] X=Y=C^1[a,b] [/mm] und [mm] ||f||_X= [/mm] max [mm] \{|f(t)|: t \in [a,b] \} [/mm] und ist
Af:=f',
so ist A linear, aber nicht beschränkt.
Dazu zeige, dass es kein c [mm] \ge [/mm] 0 gibt mit
[mm] ||Af||_Y \le c*||f||_X [/mm] für alle f [mm] \in [/mm] X.
FRED
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