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| Aufgabe | Es sei X:= [mm] \IR \cup{\pm\infty}. [/mm] Wir definieren d: X [mm] \times [/mm] X [mm] \to [0,\infty), [/mm] d(x,y):=|arctan(x)-arctan(y),
Es sei g:(X,d) [mm] \to (\IR,T_{standard}) [/mm] stetig. Zeigen Sie, dass g beschränkt ist. |
Stimmt das denn? Ich glaube doch fast nicht, oder? Ich bilde doch eine unendliche und nicht beschränkte Menge in eine weitere ab. Wieso sollte das beschränkt sein?
Aber wahrscheinlich verstehe ich mal wieder alles falsch...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:20 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei X:= [mm]\IR \cup{\pm\infty}.[/mm] Wir definieren d: X [mm]\times[/mm]
> X [mm]\to [0,\infty),[/mm] d(x,y):=|arctan(x)-arctan(y),
> Es sei g:(X,d) [mm]\to (\IR,T_{standard})[/mm] stetig. Zeigen Sie,
Ich vermute mal, dass [mm] $T_{standard}$ [/mm] durch [mm] $\IR \times \IR \to [/mm] [0, [mm] \infty)$, [/mm] $(x, y) [mm] \mapsto [/mm] |x - y|$ definiert ist?
> dass g beschränkt ist.
>
> Stimmt das denn? Ich glaube doch fast nicht, oder?
Doch doch.
> Ich bilde doch eine unendliche und nicht beschränkte Menge in
> eine weitere ab. Wieso sollte das beschränkt sein?
Weil die Metriken passend gewaehlt worden sind.
Die High-Level-Version (die dir vermutlich nicht viel hilft): Man kann zeigen, dass $(X, d)$ kompakt ist. Und das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung ist wieder kompakt. Und in [mm] $(\IR, T_{standard})$ [/mm] sind kompakte Mengen beschraenkt.
Nimm doch mal an, dass $g(X)$ nicht beschraenkt ist und sei $y [mm] \in [/mm] g(X)$ fest gewaehlt. Dann gibt es eine Folge [mm] $y_n \in [/mm] g(X)$ mit [mm] $T_{standard}(y, y_n) \ge [/mm] n$ fuer alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Sei jetzt $x, [mm] x_n \in [/mm] X$ mit $g(x) = y$, [mm] $g(x_n) [/mm] = [mm] y_n$.
[/mm]
Ueberlege dir, dass [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in $(X, d)$ eine konvergente Teilfolge besitzt. Wenn du deren Grenzwert unter $g$ abbildest, wohin muss dieser abgebildet werden?
LG Felix
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