Beschränktheit einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (a_{n}), n\in\IN [/mm] mit [mm] a_{n}=n \times 2^{-n} [/mm] monoton fällt. Untersuchen Sie, ob [mm] (a_{n}), n\in\IN [/mm] beschränkt ist, und bestimmen Sie Supremum und Infimum (falls existierend). |
Wenn man den Verlauf dieser Folge darstellt, ist zu bemerken, dass sie ab einem bestimmten Wert um 1,1 herum beginnt monoton zu fallen.
Meine Frage: Wie kann ich diesen Wert errechnen? da ja n>ca.1,1 sein muss, damit die Folge fällt.
Wie stelle ich Beschränktheit fest? Der Prof. hat es heute versucht zu erklären aber so hoch, dass ich kein Wort verstanden hab. Was bedeutet Beschränktheit --> wie errechne ich ein Infimum?
Danke
Katharina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:05 Do 27.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Eine Folge [mm] (a_n) [/mm] heißt beschränkt [mm] \gdw [/mm] es ex. Zahlen a und b mit a [mm] \le a_n \le [/mm] b für jedes n [mm] \gdw [/mm] es ex c [mm] \ge [/mm] 0 mit [mm] |a_n| \le [/mm] c für jedes n.
Jetzt zu Deiner Folge $ [mm] a_{n}=n \times 2^{-n} [/mm] $
Hier ist es sehr einfach nachzuweisen, dass [mm] a_{n+1} \le a_n [/mm] für jedes n gilt.
Mach das mal. Klar ist auch: 0< [mm] a_n \le a_1 [/mm] = 1/2. Also ist [mm] (a_n) [/mm] beschränkt und man sieht sofort: Supremum = Maximum = 1/2.
Wegen [mm] a_n [/mm] --> 0 , ist Infimum = 0 (die Folge hat kein Minimum)
FRED
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Mein Problem ist, das ich nicht genau verstanden habe wie ich nachweise, dass $ [mm] a_{n+1} \le a_n [/mm] $ für jedes n gilt.
Ich habe damit erst angefangen und arbeite Schritt für Schritt dran, nur finden sich in der Uni keine wirklichen Erklärungen, nur Def. und Sätze. So abstrakt, dass sie sich häufig meinem Verständnis entziehen. Hoffe das bessert sich mit der Zeit.
Deshalb: Wie weise ich das nach, und warum werden bestimmte Schritte gemacht?
Das gleiche gilt für die Monotonie, wie weise ich rechnerisch nach, das die Folge monoton fällt - per Skizze ist mir das schon klar, aber das ist ja leider nicht verlangt.
Danke im Voraus
Katharina
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> Mein Problem ist, das ich nicht genau verstanden habe wie
> ich nachweise, dass [mm]a_{n+1} \le a_n[/mm] für jedes n gilt.
Hallo,
rechne nach, daß [mm] a_n-a_{n+1}\ge [/mm] 0 ist. Damit hast Du's doch dann.
Wenn die Folge monoton fällt, muß das erste Folgenglied das größte sein, damit hast Du schon das Sup.
Daß die 0 eine untere Schranke ist, dürfte kein Geheimnis sein.
Zeigen mußt Du, daß es die größte untere Schranke ist - hier kommt natürlich zum Tragen, daß die Folge gegen 0 konvergiert.
Voraussetzung zum Lösen der Aufgabe ist natürlich die Kenntnis der Definitionen von Monotonie, Sup, Inf, Konvergenz.
Gruß v. Angela
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