Beschränktheit einer Menge < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:02 Di 21.01.2014 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | Sei [mm] $G\subset\mathbb{C}$ [/mm] ein einfach zusammenhängendes Gebiet und sei [mm] $z_0\in [/mm] G$. Ist die Menge
[mm] $$\left\{f'(z_0) : f:G \rightarrow [/mm] G [mm] \text{ holomorph, }f(z_0)=z_0\right\}$$
[/mm]
beschränkt? Unterscheiden Sie dabei die Fälle [mm] $G=\mathbb{C}$ [/mm] und [mm] $G\neq\mathbb{C}$ [/mm] |
Hallo!
Ich stehe bei dieser Aufgabe etwas auf dem Schlauch.
Für den Fall [mm] $G=\IC$ [/mm] habe ich eine Lösung gefunden. Die Funktionen
$$
[mm] (x-z_0+1)^n+(z_0-1)
[/mm]
$$
liefern zu vorgegebenem [mm] $z_0\in\IC$ [/mm] geeignete Funktionen. Sie haben in [mm] $z_0$ [/mm] einen Fixpunkt, ihre Ableitungen dort sind jedoch $n$. Obige Menge beinhaltet also die natürlichen Zahlen, ist also nicht beschränkt.
Für den zweiten Fall habe ich leider noch keinen Lösungsansatz. Hat jemand von euch eine Idee oder einen Tipp für mich?
Vielen Dank,
Harris
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:09 Di 21.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]G\subset\mathbb{C}[/mm] ein einfach zusammenhängendes
> Gebiet und sei [mm]z_0\in G[/mm]. Ist die Menge
>
> [mm]\left\{f'(z_0) : f:G \rightarrow G \text{ holomorph, }f(z_0)=z_0\right\}[/mm]
>
> beschränkt? Unterscheiden Sie dabei die Fälle
> [mm]G=\mathbb{C}[/mm] und [mm]G\neq\mathbb{C}[/mm]
> Hallo!
>
> Ich stehe bei dieser Aufgabe etwas auf dem Schlauch.
>
> Für den Fall [mm]G=\IC[/mm] habe ich eine Lösung gefunden. Die
> Funktionen
> [mm][/mm]
> [mm](x-z_0+1)^n+(z_0-1)[/mm]
> [mm][/mm]
> liefern zu vorgegebenem [mm]z_0\in\IC[/mm] geeignete Funktionen.
> Sie haben in [mm]z_0[/mm] einen Fixpunkt, ihre Ableitungen dort sind
> jedoch [mm]n[/mm]. Obige Menge beinhaltet also die natürlichen
> Zahlen, ist also nicht beschränkt.
Prima gemacht !
>
> Für den zweiten Fall habe ich leider noch keinen
> Lösungsansatz. Hat jemand von euch eine Idee oder einen
> Tipp für mich?
Wenn ich lese
"Sei [mm]G\subset\mathbb{C}[/mm] ein einfach zusammenhängendes Gebiet und sei [mm]G\neq\mathbb{C}[/mm]",
so klingelt der Riemannsche Abbildungssatz bei mir an der Tür.
FRED
>
> Vielen Dank,
> Harris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:11 Mi 22.01.2014 | | Autor: | Harris |
Hallo Fred,
danke für die Antwort. Ja, der Riemannsche Abbildungssatz klingelt, jedoch stoße ich auch danach auf ein Problem:
Ich bilde das einfach zusammenhängende Gebiet auf den Einheitskreis ab, so dass ich die Aussage nur noch für den Einheitskreis selbst zeigen muss.
Nun gilt nach der Cauchyschen Integralformel und einem Kreis U mit Radius r um [mm] z_0
[/mm]
[mm] f'(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial U} \frac{f(\zeta)}{(\zeta -z)^2}d\zeta
[/mm]
dies schätze ich betragsmäßig für [mm] z=z_0 [/mm] ab und bekomme:
[mm] |f'(z_0)|=|\cdots|\leq \frac{1}{2\pi} \cdot \underbrace{2\pi r}_{Umfang\; von\; U} \cdot \underbrace{1}_{|f(\zeta)|<1} \cdot \underbrace{\frac{1}{r^2}}_{\zeta-z_0 = r}=\frac{1}{r}
[/mm]
Für kleine $r$ ist dies unbeschränkt.
Auch die Abschätzung der Taylorkoeffizienten
[mm] $a_n<\frac{M}{r^n}$
[/mm]
liefert mir das gleiche Ergebnis.
Habe ich einen Denkfehler oder geht das irgendwie anders?
Gruß!
Harris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Mi 22.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke für die Antwort. Ja, der Riemannsche Abbildungssatz
> klingelt, jedoch stoße ich auch danach auf ein Problem:
>
> Ich bilde das einfach zusammenhängende Gebiet auf den
> Einheitskreis ab, so dass ich die Aussage nur noch für den
> Einheitskreis selbst zeigen muss.
Ja, das ist richtig. Aber begründen solltest Du das ! Sei D die offene Einheitskreisscheibe.
Sei also G [mm] \ne \IC.
[/mm]
Zeige: ist f:G [mm] \to [/mm] G holomorph, f(G) [mm] \subseteq [/mm] G und [mm] f(z_0)=z_0, [/mm] so ex. ein h:D [mm] \to [/mm] D holomorph mit h(D) [mm] \subseteq [/mm] D und ein [mm] w_0 \in [/mm] D mit
[mm] h(w_0)=w_0 [/mm] und [mm] h'(w_0)=f'(z_0).
[/mm]
>
> Nun gilt nach der Cauchyschen Integralformel und einem
> Kreis U mit Radius r um [mm]z_0[/mm]
>
> [mm]f'(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\partial U} \frac{f(\zeta)}{(\zeta -z)^2}d\zeta[/mm]
>
> dies schätze ich betragsmäßig für [mm]z=z_0[/mm] ab und
> bekomme:
>
> [mm]|f'(z_0)|=|\cdots|\leq \frac{1}{2\pi} \cdot \underbrace{2\pi r}_{Umfang\; von\; U} \cdot \underbrace{1}_{|f(\zeta)|<1} \cdot \underbrace{\frac{1}{r^2}}_{\zeta-z_0 = r}=\frac{1}{r}[/mm]
>
> Für kleine [mm]r[/mm] ist dies unbeschränkt.
Unfug ! [mm] z_0 [/mm] ist ein fester Punkt von D und r ist so gewählt (und daran wird nicht gerüttelt !), dass die abgeschlossene Kreisscheibe um [mm] z_0 [/mm] mit Radius r noch ganz in D liegt.
Mit diesem r gilt dann:
[mm] |f'(z_0)| \le [/mm] 1/r für alle f:G [mm] \to [/mm] G holomorph mit f(G) [mm] \subseteq [/mm] G und [mm] f(z_0)=z_0.
[/mm]
FRED
>
> Auch die Abschätzung der Taylorkoeffizienten
> [mm]a_n<\frac{M}{r^n}[/mm]
> liefert mir das gleiche Ergebnis.
>
> Habe ich einen Denkfehler oder geht das irgendwie anders?
>
> Gruß!
> Harris
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