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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Funktion f [mm] \to [/mm] sinz auf [mm] \IC [/mm] unbeschränkt ist |
Hallo zusammen,
sinz kann ich ja zunächst mit der komplexen Exponentialfunktion ausdrücken:
sinz= [mm] \bruch{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
[/mm]
Um zu zeigen, dass die Funktion unbeschränkt ist, kann ich ja einfach sagen, wenn die Funktion für [mm] \limes_{z\rightarrow\infty} [/mm] keinen Grenzwert besitzt, ist sie unbeschränkt?!
Nur wie zeige ich das jetzt?
Macht es sinn, [mm] e^{iz} [/mm] und [mm] e^{-iz} [/mm] jeweils wieder mit sinus und cosinus auszudrücken? also:
[mm] e^{iz}= [/mm] cos z + i sin z
[mm] -e^{-iz}=-cos [/mm] z -(?)i sin z ...hier kann irgendwas nicht stimmen, wie drücke ich den negativen exponenten jetzt richtig aus?(Wenn das überhaupt mein Ziel ist)
Wäre für eine kurze Hilfe dankbar!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Di 02.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Funktion f [mm]\to[/mm] sinz auf [mm]\IC[/mm]
> unbeschränkt ist
> Hallo zusammen,
>
> sinz kann ich ja zunächst mit der komplexen
> Exponentialfunktion ausdrücken:
>
> sinz= [mm]\bruch{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}[/mm]
Das ist schon mal gut !
>
> Um zu zeigen, dass die Funktion unbeschränkt ist, kann ich
> ja einfach sagen, wenn die Funktion für
> [mm]\limes_{z\rightarrow\infty}[/mm] keinen Grenzwert besitzt, ist
> sie unbeschränkt?!
Nein, so kannst Du nicht argumentieren. Im Reellen ist z.B. x [mm] \to [/mm] sin(x) beschränkt, hat aber für x [mm] \to \infty [/mm] keinen Grenzwert.
>
> Nur wie zeige ich das jetzt?
> Macht es sinn, [mm]e^{iz}[/mm] und [mm]e^{-iz}[/mm] jeweils wieder mit sinus
> und cosinus auszudrücken? also:
>
> [mm]e^{iz}=[/mm] cos z + i sin z
> [mm]-e^{-iz}=-cos[/mm] z -(?)i sin z ...hier kann irgendwas nicht
> stimmen, wie drücke ich den negativen exponenten jetzt
> richtig aus?(Wenn das überhaupt mein Ziel ist)
>
> Wäre für eine kurze Hilfe dankbar!
Mach es so: für reelles t schau Dir mal mit der Darstellung sinz= [mm]\bruch{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}[/mm] an, was |sin(it)| treibt, wenn t gegen [mm] \infty [/mm] geht
FRED
>
> Liebe Grüße
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Ok, für ein reales t geht der gesamte Term gegen unendlich, da 2i= konstant,
[mm] -e^{-iz} \to [/mm] 0 und [mm] e^{iz}\to \infty [/mm] ?!
Aber wie kann ich das jetzt in das komplexe übernehmen?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Di 02.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok, für ein reales t geht der gesamte Term gegen
> unendlich, da 2i= konstant,
> [mm]-e^{-iz} \to[/mm] 0 und [mm]e^{iz}\to \infty[/mm] ?!
>
> Aber wie kann ich das jetzt in das komplexe übernehmen?
>
> Gruß
Was machst Du da ?
Für t [mm] \in \IR [/mm] ist
$2i*sin(it)= [mm] e^{-t}-e^t$
[/mm]
also
$2*|sin(it)= [mm] |e^{-t}-e^t|$ \to \infty [/mm] für t [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
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Unklar ist mir jetzt nur noch:
Ersetze ich einfach das z durch ein t [mm] \in \IR [/mm] oder wie?
Wenn du darauf noch eben eingehen könntest?!
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Di 02.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Unklar ist mir jetzt nur noch:
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> Ersetze ich einfach das z durch ein t [mm]\in \IR[/mm] oder wie?
Nein, Du wählst speziell z=it (t [mm] \in \IR)
[/mm]
Dann siehst Du: der komplexe Sinus ist auf der imaginären Achse unbeschränkt, also ist er auch auf [mm] \IC [/mm] unbeschränkt.
FRED
> Wenn du darauf noch eben eingehen könntest?!
>
> Gruß
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Ok, aber wenn ich z=it; t [mm] \in \IR [/mm] setze,
wird doch aus [mm] e^{i*z}= e^{i*i*t}=e^{i^2t}, [/mm] (?)
wie kommt man da auf [mm] e^{t} [/mm] bzw. [mm] e^{-t}?
[/mm]
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Di 02.11.2010 | | Autor: | felixf |
> Ok, aber wenn ich z=it; t [mm]\in \IR[/mm] setze,
>
> wird doch aus [mm]e^{i*z}= e^{i*i*t}=e^{i^2t},[/mm] (?)
> wie kommt man da auf [mm]e^{t}[/mm] bzw. [mm]e^{-t}?[/mm]
$i$ ist die komplexe Einheit! Also: [mm] $i^2 [/mm] = -1$
LG Felix
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