Beschränktheit stetiger Funkti < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f: R --> R eine stetige Funktion mit der Eigenschaft [mm]\lim_{x \to + \infty}f(x)=0[/mm] und [mm]\lim_{x \to - \infty}f(x)=0[/mm].
Zeigen Sie: Dann ist f beschränkt, d.h. es gibt ein [mm]b,c\in\IR[/mm], so dass [mm]b\le f(x)\le c[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm] erfüllt ist |
Hallo zusammen!
Ich bin mir nicht sicher wie ich an o.g. Aufgabe herangehen soll. Ich hatte mir überlegt ein beliebig großes Intervall zu definieren und dann zu zeigen, daß die Funktion auf diesem Intervall laut Maximumsprinzip beschränkt ist. Aber das könnte man doch auch mit jeder unbeschränkten stetigen Funktion machen, oder?
Vielleicht könnte man beweisen, dass die Funktion, falls sie unbeschränkt wäre, eine Sprungstelle hätte und dies im Widerspruch zur Stetigkeit stünde, nur hab ich keine Ahnung wie.
Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte! Vielen Dank schonmal!
LG Hanna
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Hiho,
na nimm doch mal an, die Funktion sei nicht beschränkt, was heisst das denn?
Tip: Es läuft daraus hinaus, dass es ein [mm] x_0 [/mm] gibt, so dass [mm] $\lim_{x\to x_0} [/mm] f(x)$ nicht existiert. Und daraus würde folgen, dass......
MFG,
Gono.
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Also wenn die Funkion unbeschränkt wäre, dann gäbe es ein [mm]x_0[/mm] mit einem Funktionswert, der gegen unendlich läuft. Also müsste es eine Sprungstelle geben (Eine Definitioslücke bzw. Polstelle darf ich doch, so wie die Aufgabe gestellt ist ausschliessen, oder?). Dann existiert [mm]\lim_{x\to x_0} f(x)[/mm] nicht, was im Widerspruch zur Stetigkeit steht.
Stimmt das soweit? Wenn ja, wie kann ich begründen, dass eine solche Polstelle existieren müsste, falls die Funktion unbeschränkt wäre? Darf ich einfach so argumentieren, daß die Funktion mit diesen beiden Grenzwerten wieder "umkehren" muß?
Vielen Dank!
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Hiho,
> Also wenn die Funkion unbeschränkt wäre, dann gäbe es
> ein [mm]x_0[/mm] mit einem Funktionswert, der gegen unendlich
> läuft. Also müsste es eine Sprungstelle geben (Eine
> Definitioslücke bzw. Polstelle darf ich doch, so wie die
> Aufgabe gestellt ist ausschliessen, oder?). Dann existiert
> [mm]\lim_{x\to x_0} f(x)[/mm] nicht, was im Widerspruch zur
> Stetigkeit steht.
anschaulich stimmt das so, als mathematisch korrekt formuliert würde ich das aber nicht ansehen.
Warum muss es überhaupt so ein [mm] x_0 [/mm] geben?
Das hast du noch nicht begründet bzw bewiesen.
Das müsste man meiner Meinung nach umständlicher angehen, so in der Art.
Ann: f ist unbeschränkt
Dann gibt es zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] ein [mm] x_n, [/mm] so dass [mm] $|f(x_n)| [/mm] > n$
Und daraus konstruier dir nun mal dein [mm] x_0. [/mm]
Tip: Teilfolge [mm] x_{n_k} [/mm] mit [mm] $x_{n_k} \to x_0$
[/mm]
Begründen musst du dann: Warum gibt es so eine Folge und [mm] x_0 [/mm] etc. etc.
MFG,
Gono.
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Ok, ich versuch's mal:
Angenommen f ist unbeschränkt:
Dann gibt es zu jedem [mm]n\in\IN[/mm] ein [mm]x_n[/mm] mit [mm]\left|f(x_n)\right| > n[/mm], also [mm]\lim_{n \to \infty}x_n = \pm\infty[/mm].
Sei [mm]x_n_k[/mm] Teilfolge mit [mm]\lim_{k \to \infty}x_n_k = x_0[/mm] dann folgt aus der Stetigkeit von f: [mm]\lim_{k \to \infty}f(x_n_k) = f(x_0)[/mm]
Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich die beiden Aussagen in Verbindung bringe. Ich müsste doch zeigen, dass in [mm]x_0[/mm] der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert verschieden sind, aber ich glaube ich habe noch immer nicht begründet, warum [mm]x_0[/mm] überhaupt existieren muß.
Vielen Dank für die Hilfe.
Lg Hanna
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> Angenommen f ist unbeschränkt:
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> Dann gibt es zu jedem [mm]n\in\IN[/mm] ein [mm]x_n[/mm] mit
> [mm]\left|f(x_n)\right| > n[/mm],
korrekt
> also [mm]\lim_{n \to \infty}x_n = \pm\infty[/mm]
Warum? Bei dieser Aufgabenstellung kann das sogar gar nicht sein und die Aussage ist falsch! (Warum? Was wäre mit [mm] $f(x_n)$, [/mm] wenn [mm] $\lim_{n \to \infty}x_n [/mm] = [mm] \pm\infty$ [/mm] gelten würde? Es muss nichtmal [mm] $\lim_{n \to \infty}x_n$ [/mm] existieren, aber dazu unten mehr)
> Sei [mm]x_n_k[/mm] Teilfolge mit [mm]\lim_{k \to \infty}x_n_k = x_0[/mm]
Warum sollte es denn überhaupt eine konvergente Teilfolge geben?
Wann gibt es konvergente Teilfolgen in einer beliebigen Folge denn?
> aber ich glaube ich habe noch immer nicht begründet, warum
> [mm]x_0[/mm] überhaupt existieren muß.
korrekt 
Also: Ich hatte ja schon gesagt, dass deine Aussage [mm]\lim_{n \to \infty}x_n = \pm\infty[/mm] nicht gilt, es muss nichtmal der Grenzwert existieren.
Was wir wissen ist aber, dass die Menge der [mm] x_n [/mm] beschränkt ist!
Das folgt daraus, dass [mm] $\limes_{x\rightarrow\pm\infty}f(x) [/mm] = 0$, nur warum?
Die Begründung solltest du dir mal selbst überlegen
Wenn wir dann wissen, dass die Menge der [mm] x_n [/mm] beschränkt ist, existiert eine Folge [mm] x_{n_k} [/mm] ..... hier machst du mal weiter.
MFG,
Gono.
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Laut Bolzano-Weierstraß besitzt jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge. Ich verstehe leider überhaupt nicht, warum die Menge der [mm]x_n[/mm] beschränkt ist. Auch wenn [mm]\lim_{x \to \infty}f(x) = 0 = \lim_{n \to \infty}f(x_n)[/mm] ist, kann ich doch daraus nicht schließen, daß [mm]x_n[/mm] beschränkt sein muß.
Entschuldige, ich stehe wirklich auf dem Schlauch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Mi 06.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Wenn [mm] $x_n$ [/mm] unbeschränkt wäre, dann gäbe es eine Teilfolge [mm] $x_{n_k}$, [/mm] die gegen sagen wir [mm] $+\infty$ [/mm] konvergiert. Nach Konstruktion ist ja [mm]|f(x_n)|\ge 1[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm], dann wäre aber [mm] $$0=\lim_{x\to\infty}|f(x)|=\lim_{k\to\infty}|f(x_{n_k})|\ge [/mm] 1$$ Widerspruch.
Gruß, Robert
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> Wenn [mm]x_n[/mm] unbeschränkt wäre, dann gäbe es eine Teilfolge
> [mm]x_{n_k}[/mm], die gegen sagen wir [mm]+\infty[/mm] konvergiert.
Ok, das ist klar
> Nach Konstruktion ist ja [mm]|f(x_n)|\ge 1[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm],
Warum ist [mm]|f(x_n)|\ge 1[/mm]?
> dann wäre aber
> [mm]0=\lim_{x\to\infty}|f(x)|=\lim_{k\to\infty}|f(x_{n_k})|\ge 1[/mm]
> Widerspruch.
>
> Gruß, Robert
Lieber Robert,
wenn du mir vielleicht noch sagen könntest, warum [mm]|f(x_n)|\ge 1[/mm] gilt, dann hab ich es hoffentlich verstanden!
Vielen Dank
LG Hanna
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Auch wenn ich nicht Robert bin, beantworte ich dir das mal
Die [mm] x_n [/mm] sind ja gerade so konstruiert worden, dass [mm] $f(x_n) \ge [/mm] 1$, denn wir wählen uns zu jedem n ja gerade [mm] x_n [/mm] so, dass [mm] $f(x_n) [/mm] > n$ gilt.
Insbesondere ist [mm] $f(x_n)$ [/mm] damit immer grösser als 1.
MFG,
Gono.
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Danke Gono, da hatte ich aber ein riesen Brett vorm Kopf!
Also ich versuche es nochmal!
Aus der Stetigkeit und [mm]\lim_{x \to \infty}f(x) = 0[/mm] folgt für jede Folge [mm]x_n[/mm] mit [mm]\lim_{n \to \infty}x_n = x[/mm] :
[mm]\lim_{n \to \infty}f(x_n) = \lim_{x \to \infty}f(x) = 0[/mm]
Angenommen f sei unbeschränkt,
Dann existiert zu jedem [mm]n\in\IN[/mm] ein [mm]\left|f(x_n)\right|\ge n[/mm] (also erst recht >= 1)
Außerdem existiert eine Teilfolge [mm] x_n_k[/mm] mit [mm] \lim_{k \to \infty}x_n_k = +\infty[/mm].
Allerdings wäre laut Konstruktion von [mm]x_n[/mm]
[mm]0= \lim_{x \to \infty}\left|f(x)\right|= \lim_{k \to \infty}\left|f(x_n_k)\right|\ge 1[/mm]
Also ergibt sich ein Widerspruch, und f kann somit nicht unbeschränkt sein.
Wäre das in Ordnung?
Vielen Dank für eure Hilfe
LG Hanna
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Hiho,
> Aus der Stetigkeit und [mm]\lim_{x \to \infty}f(x) = 0[/mm] folgt
> für jede Folge [mm]x_n[/mm] mit [mm]\lim_{n \to \infty}x_n = x[/mm] :
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}f(x_n) = \lim_{x \to \infty}f(x) = 0[/mm]
Öhm, nein.
Das brauchst du auch gar nicht für den Beweis, denn du hast die Beweisidee leider noch nichtmal verstanden..... aber Schritt für Schritt:
> Angenommen f sei unbeschränkt,
>
> Dann existiert zu jedem [mm]n\in\IN[/mm] ein [mm]\left|f(x_n)\right|\ge n[/mm]
> (also erst recht >= 1)
Ja, das ist Schritt 1.)
> Außerdem existiert eine Teilfolge [mm]x_n_k[/mm] mit [mm]\lim_{k \to \infty}x_n_k = +\infty[/mm].
Nein!
Nochmal, die [mm] x_{n_k} [/mm] KÖNNEN NICHT gegen [mm] $+\infty$ [/mm] konvergieren, denn die Menge der [mm] x_n [/mm] ist doch beschränkt!
Das hatten wir doch in den Postings vorher bewiesen :(
> Allerdings wäre laut Konstruktion von [mm]x_n[/mm]
>
> [mm]0= \lim_{x \to \infty}\left|f(x)\right|= \lim_{k \to \infty}\left|f(x_n_k)\right|\ge 1[/mm]
>
> Also ergibt sich ein Widerspruch
Ja.
> und f kann somit nicht
> unbeschränkt sein.
Nein! Somit kann die Menge der [mm] x_n [/mm] nicht beschränkt sein!
Der Beweis von Robert war erstmal NUR dafür da zu zeigen, dass die Menge der [mm] x_n [/mm] beschränkt ist.
Das hat nur am Rande was mit der Beschränktheit von f zu tun, wir benötigen das nur als BeweisSCHRITT aber nicht als Beweis.
Ok, wir haben nun also ERSTMAL gezeigt, dass die Menge der [mm] x_n [/mm] beschränkt ist. (2.)
Nun geht es weiter mit:
3.) Überlege dir, warum es NUN (mit 2.) eine konvergente Teilfolge [mm] x_{n_k} [/mm] gibt (den Satz hast du schon zitiert vorhin)
4.) Wir nennen den Grenzwert der [mm] x_{n_k} x_0, [/mm] es gilt also: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n_k} [/mm] = [mm] x_0$
[/mm]
5.) Jetzt betrachten wir mal [mm] f(x_0), [/mm] was passiert dort?
MFG,
Gono.
>
>
> Wäre das in Ordnung?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe
>
> LG Hanna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:30 Do 07.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> 4.) Wir nennen den Grenzwert der [mm]x_{n_k} x_0,[/mm] es gilt also:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n_k} = x_0[/mm]
Nur ne Kleinigkeit: du meinst [mm] $\lim_{\red{k}\to\infty}x_{n_k}=x_0$.
[/mm]
Gruß, Robert
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Gut, also nochmal:
Angenommen die Menge der [mm]x_n[/mm]sei unbeschränkt,
Dann existiert zu jedem [mm]n\in\IN[/mm] ein [mm]\left|f(x_n)\right|\ge n[/mm] (also erst recht >= 1)
Außerdem gäbe es dann eine Teilfolge [mm]x_n_k[/mm] mit [mm]\lim_{k \to \infty}x_n_k = +\infty[/mm].
Allerdings wäre laut Konstruktion von [mm]x_n[/mm]
[mm]0= \lim_{x \to \infty}\left|f(x)\right|= \lim_{k \to \infty}\left|f(x_n_k)\right|\ge 1[/mm]
Also ergibt sich ein Widerspruch und die Menge der [mm]x_n[/mm] kann nicht unbeschränkt sein.
Laut Bolzano-Weierstraß gibt es also für [mm]x_n[/mm] als beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge [mm]x_n_k[/mm] mit Grenzwert
[mm]x_{n_k} x_0,[/mm]. Also gilt:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n_k} = x_0[/mm]
An der Stelle [mm]f(x_0),[/mm] gilt aufgrund der Stetigkeit [mm]f(x_0)=\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n_k}) [/mm]
Aber was bringt mir das?
LG Hanna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Do 07.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> An der Stelle [mm]f(x_0),[/mm] gilt aufgrund der Stetigkeit
> [mm]f(x_0)=\limes_{\red{k}\rightarrow\infty} f(x_{n_k})[/mm]
Das ist richtig, aber nach Konstruktion gilt ja außerdem [mm] $|f(x_{n_k})|>n_k\ge [/mm] k$ für alle [mm] $k\in\IN$, [/mm] d.h. [mm] $\lim_{k\to\infty}f(x_{n_k})$ [/mm] existiert nicht - das ist ein Widerspruch.
Gruß, Robert
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> Das
> ist richtig, aber nach Konstruktion gilt ja außerdem
> [mm]|f(x_{n_k})|>n_k\ge k[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm], d.h.
> [mm]\lim_{k\to\infty}f(x_{n_k})[/mm] existiert nicht - das ist ein
> Widerspruch.
Ok, aber habe ich damit gezeigt, daß f beschränkt sein muß? Wie?
LG Hanna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Do 07.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Wenn du dir die ganze Argumentation nochmal anschaust, dann steht da "Angenommen, f wäre nicht beschränkt. Dann ... Widerspruch". Also war unsere Annahme, das $f$ nicht beschränkt ist, falsch, d.h. $f$ ist beschränkt - qed.
Gruß, Robert
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Danke, jetzt hab ichs verstanden!
Vielen lieben Dank für eure Geduld,
LG Hanna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:19 Do 07.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Wegen
$ [mm] \lim_{x \to + \infty}f(x)=0 [/mm] $ und $ [mm] \lim_{x \to - \infty}f(x)=0 [/mm] $
gibt es Zahlen s und t mit s<t und
(1) $|f(x)| [mm] \le [/mm] 1$ für x<s und x>t
Da f auf [s,t] stetig ist, ist
(2) f auf [s,t] beschränkt
Aus (1) und (2) folgt die Behauptung
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:35 Do 07.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Deine Lösung ist im Grunde genau das gleiche wie das, was schon oben steht. Nur dass die ganzen "schmutzigen" Details nicht bewiesen werden.
> Wegen [mm]\lim_{x \to + \infty}f(x)=0[/mm] und [mm]\lim_{x \to - \infty}f(x)=0[/mm]
> gibt es Zahlen s und t mit s<t und [mm]|f(x)| \le 1[/mm] für x<s und x>t
Das stimmt, aber um das wirklich zu zeigen musst du auch wieder mit Folgen arbeiten. Und dann macht man im Grunde das gleiche, was wir auch schon gemacht haben, als wir gezeigt haben dass die Folge [mm] $x_n$ [/mm] beschränkt ist.
> Da f auf [s,t] stetig ist, ist f auf [s,t] beschränkt
Ja... wenn man dan ganzen Kompaktheitskram schon hat. Ansonsten darf man hier wieder mit Folgen arbeiten, und dann macht man wieder dasselbe was wir auch gemacht haben (Bolzano-Weierstraß + Folgen-Stetigkeit).
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 Do 07.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Deine Lösung ist im Grunde genau das gleiche wie das, was
> schon oben steht. Nur dass die ganzen "schmutzigen" Details
> nicht bewiesen werden.
>
> > Wegen [mm]\lim_{x \to + \infty}f(x)=0[/mm] und [mm]\lim_{x \to - \infty}f(x)=0[/mm]
>
> > gibt es Zahlen s und t mit s<t und [mm]|f(x)| \le 1[/mm] für x<s
> und x>t
> Das stimmt, aber um das wirklich zu zeigen musst du auch
> wieder mit Folgen arbeiten.
Wieso denn ? Nach Definition bedeutet zum Beispiel $ [mm] \lim_{x \to + \infty}f(x)=0 [/mm] $ :
Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es ein [mm] t=t(\epsilon) [/mm] >0 mit: [mm]|f(x)| \le \epsilon[/mm] für x > t
Oben habe ich [mm] \epsilon [/mm] = 1 gewählt.
> Und dann macht man im Grunde
> das gleiche, was wir auch schon gemacht haben, als wir
> gezeigt haben dass die Folge [mm]x_n[/mm] beschränkt ist.
>
> > Da f auf [s,t] stetig ist, ist f auf [s,t] beschränkt
> Ja... wenn man dan ganzen Kompaktheitskram schon hat.
Ich denke, diesen Kram hatte unser Fragesteller
Gruß FRED
> Ansonsten darf man hier wieder mit Folgen arbeiten, und
> dann macht man wieder dasselbe was wir auch gemacht haben
> (Bolzano-Weierstraß + Folgen-Stetigkeit).
>
> Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Do 07.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> > Das stimmt, aber um das wirklich zu zeigen musst du auch
> > wieder mit Folgen arbeiten.
> Wieso denn ? Nach Definition bedeutet zum Beispiel [mm]\lim_{x \to + \infty}f(x)=0[/mm]:
> Zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 gibt es ein [mm]t=t(\epsilon)[/mm] >0 mit:
> [mm]|f(x)| \le \epsilon[/mm] für x > t
Ah okay, war ein Mißverständnis, ich kenne die Grenzwertdefinition nur über Folgen, aber wenn man das direkt so definiert wie du es offenbar gelernt hast, dann muss man da natürlich gar nix mehr zeigen.
Gruß, Robert
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