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Forum "Folgen und Reihen" - Beschränktheit und Monotonie
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Beschränktheit und Monotonie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:52 Mi 15.02.2023
Autor: Schobbi

Aufgabe
Untersuchen Sie die folgenden Folgen jeweils auf Beschränktheit und Monotonie.
[mm] a_{n}=sin(n) [/mm]

Guten Morgen zusammen, vielleicht kann mir einer von euch bei der obigen Aufgabe helfen.

Um Monotonie zu zeigen, muss ich entweder [mm] a_{n}-a{n+1}<0 [/mm] (steigend) bzw.  [mm] a_{n}-a{n+1}>0 [/mm] (fallend) zeigen.

Folglich:
sin(n)-sin(n+1) = sin(n)-(sin(n)cos(1)+sin(1)cos(n)) = sin(n)-sin(n)cos(1)-sin(1)cos(n)

Aber wie kann ich jetzt offensichtlich zeigen, dass hier keine Monotonie vorliegt?

Die Folge sin(n) ist ja durch -1 bzw 1 Beschränkt, aber wie kann ich das mathematisch korrekt formulieren?

DANKE für eure Hilfe!

        
Bezug
Beschränktheit und Monotonie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 Mi 15.02.2023
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

das einfachste mal zu beginn:

> Die Folge sin(n) ist ja durch -1 bzw 1 Beschränkt, aber
> wie kann ich das mathematisch korrekt formulieren?

Genau so: Es gilt $-1 [mm] \le \sin(n) \le [/mm] 1$ und damit ist die Folge beschränkt.

> Untersuchen Sie die folgenden Folgen jeweils auf
> Beschränktheit und Monotonie.
>  [mm]a_{n}=sin(n)[/mm]
>  Guten Morgen zusammen, vielleicht kann mir einer von euch
> bei der obigen Aufgabe helfen.
>
> Um Monotonie zu zeigen, muss ich entweder [mm]a_{n}-a{n+1}<0[/mm]
> (steigend) bzw.  [mm]a_{n}-a{n+1}>0[/mm] (fallend) zeigen.
>
> Folglich:
> sin(n)-sin(n+1) = sin(n)-(sin(n)cos(1)+sin(1)cos(n)) =
> sin(n)-sin(n)cos(1)-sin(1)cos(n)

Oder weiter zusammengefasst:
[mm] $-2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\cos\left(n + \frac{1}{2}\right)$ [/mm]
Das hilft nun aber auch nicht wesentlich weiter, weil du die Monotonie von [mm] $\sin(n)$ [/mm] auf das Vorzeichen von [mm] $\cos\left(n + \frac{1}{2}\right)$ [/mm] zurückgeführt hast.

Der Vorzeichenwechsel bringt uns aber vielleicht schon vorher weiter…
Was weißt du denn über die Vorzeichen von [mm] $\sin(n)$ [/mm] und [mm] $\sin(n+4)$? [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Beschränktheit und Monotonie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:36 Do 16.02.2023
Autor: fred97

Wie Gono schon sagte: [mm] $|a_n| \le [/mm] 1$ für alle $n$.

Damit ist [mm] $(a_n)$ [/mm] beschränkt.

Ich habe einen ganz elementaren Beweis für die Divergenz von [mm] $(a_n)$ [/mm] gefunden.

Daraus folgt, dass [mm] $(a_n)$ [/mm] nicht monoton sein kann (Monotoniekriterium).

Wir führen folgende Bezeichnungen ein: [mm] $s_n:= a_n [/mm] = [mm] \sin [/mm] (n)$ und [mm] $c_n [/mm] :=  [mm] \cos [/mm] (n).$

Wir nehmen an, [mm] $(s_n)$ [/mm] sei konvergent und $a$ der Limes dieser Folge.

Aus dem Add.-Theorem folgt

  [mm] $s_{n+1}=c_1s_n+s_1c_n.$ [/mm]

Weil [mm] $s_1 \ne [/mm] 0$ ist folgt , dass auch [mm] (c_n) [/mm] konvergiert einen Grenzwert $b$ hat und

(1) $a=c_1a+s_1b.$

Mit dem Add. - Theorem für den Cosinus erhlten wir dann:

(2)  $b=s_1b-c_1a.$

Addieren wir beide Gleichungen, so bekommen wir

(3)  $a+b= 2s_1b$

und, durch Subtraktion

(4) $a-b=2c_1a.$

Lösen wir (3) nach $a$ auf und setzen dies in (4) ein, so liefert dies

  $s_1b-b=2c_1s_1b-c_1b.$

Wäre $b [mm] \ne [/mm] 0$, so würde folgen

[mm] $s_1-1=2c_1s_1-c_1,$ [/mm]

also

[mm] $s_1+c_1=2c_1s_1+1=s_1^2+2c_1s_1+c_1^2= (s_1+c_1)^2.$ [/mm]

Folglich wäre [mm] $s_1+c_1=0$ [/mm] oder [mm] $s_1+c_1=1.$ [/mm]  

Beides ist aber nicht der Fall.

Fazit: $b=0.$ Aus (3) folgt dann $ a=0.$

Wegen [mm] $1=c_n^2+s_n^2$ [/mm]  für alle $n$ folgt aber [mm] $a^2+b^2=1,$ [/mm]  ein Widerspruch.

Damit ist [mm] (a_n) [/mm] divergent.


__________

Einfacher ist der Weg durch die komplexen Zahlen. Wir beginnen wie oben: $a$ sei der Limes von [mm] $(s_n)$ [/mm] und folgern wie oben, dass auch [mm] $(c_n)$ [/mm] konvergiert zum Grenzwert $b$.

Wir setzen [mm] $k_n: [/mm] = [mm] e^{in}.$ [/mm] Dann konvergiert [mm] (k_n) [/mm] gegen $a+ib$.

Ebenso: [mm] $k_{n+1} \to [/mm] a+ib.$

Nun ist aber [mm] $k_{n+1}=e^i k_n.$ [/mm]

Somit ist [mm] $a+ib=e^i(a+ib)$. [/mm]

Es folgt $a=0=b$, als Widerspruch wie oben.

Bezug
                
Bezug
Beschränktheit und Monotonie: Kleine Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:31 Do 16.02.2023
Autor: HJKweseleit


> Wie Gono schon sagte: [mm]|a_n| \le 1[/mm] für alle [mm]n[/mm].
>  
> Damit ist [mm](a_n)[/mm] beschränkt.
>  
> Ich habe einen ganz elementaren Beweis für die Divergenz
> von [mm](a_n)[/mm] gefunden.
>  
> Daraus folgt, dass [mm](a_n)[/mm] nicht monoton sein kann
> (Monotoniekriterium).
>  
> Wir führen folgende Bezeichnungen ein: [mm]s_n:= a_n = \sin (n)[/mm]
> und [mm]c_n := \cos (n).[/mm]
>  
> Wir nehmen an, [mm](s_n)[/mm] sei konvergent und [mm]a[/mm] der Limes dieser
> Folge.
>  
> Aus dem Add.-Theorem folgt
>  
> [mm]s_{n+1}=c_1s_n+s_1c_n.[/mm]
>
> Weil [mm]s_1 \ne 0[/mm] ist folgt , dass auch [mm](c_n)[/mm] konvergiert
> einen Grenzwert [mm]b[/mm] hat und
>  
> (1) [mm]a=c_1a+s_1b.[/mm]
>  
> Mit dem Add. - Theorem für den Cosinus erhlten wir dann:
>  
> (2)  [mm]b=s_1b-c_1a.[/mm]

|||| Hier ist dir ein kleiner Fehler unterlaufen, der letztlich der Sache keinen Abbruch tut:
||||
|||| [mm] cos(\alpha+\beta) [/mm] = [mm] cos(\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta), [/mm] hier also
||||
||||                                   [mm]b=c_1b-s_1a[/mm]             (2*)
||||

>  
> Addieren wir beide Gleichungen, so bekommen wir
>  
> (3)  [mm]a+b= 2s_1b[/mm]

||||
|||| Jetzt (1)+(2*):
||||                                   a+b = [mm] c_1(a+b)+s_1(b-a) [/mm]
||||                            somit [mm] (a+b)(1-c_1)=s_1(b-a) [/mm]
|||| multipliziert mit (b-a):         [mm] (b^2-a^2)(1-c_1)=s_1(b-a)^2 [/mm]   (3*)
||||

>  
> und, durch Subtraktion
>  
> (4) [mm]a-b=2c_1a.[/mm]

||||
||||                                   a-b = [mm] c_1(a-b)+s_1(a+b) [/mm]
||||                            somit [mm] (a-b)(1-c_1)=s_1(a+b) [/mm]
|||| multipliziert mit (a+b):         [mm] (a^2-b^2)(1-c_1)=s_1(a+b)^2 [/mm]   (4*)
||||
|||| Vergleich von (3*) und (4*) liefert:
||||
||||  [mm] (b^2-a^2)(1-c_1)=s_1(b-a)^2 [/mm]   (3*)
||||  [mm] (a^2-b^2)(1-c_1)=s_1(a+b)^2 [/mm]   (4*)
||||
|||| Für [mm] |a|\ne [/mm] |b| sind die beiden Klammern auf der jeweils rechten Seite als Quadrate positiv, die rechten Seiten haben somit beide das gleiche
|||| Vorzeichen (von [mm] s_1\ne [/mm] 0). Auf der linken Seite sind die beiden ersten Klammern [mm] \ne [/mm] 0, haben aber verschiedene Vorzeichen, und da [mm] c_1\ne [/mm] 1 ist,
|||| stehen auf der linken Seite verschiedene Vorzeichen. Das widerspricht sich. Also ist b=a oder b=-a.
||||
|||| Dann sind aber die beiden linken Klammern  [mm] (b^2-a^2) [/mm] und [mm] (a^2-b^2)=0, [/mm] und wegen [mm] (1-c_1) [/mm] und [mm] s_1 \ne [/mm] 0 dann auch b-a=0 und a+b=0,
|||| woraus sofort a=b=0 folgt.
||||
|||| Widerspruch wie gezeigt wegen [mm] a^2+b^2=1. [/mm]









>  
> Lösen wir (3) nach [mm]a[/mm] auf und setzen dies in (4) ein, so
> liefert dies
>  
> [mm]s_1b-b=2c_1s_1b-c_1b.[/mm]
>  
> Wäre [mm]b \ne 0[/mm], so würde folgen
>  
> [mm]s_1-1=2c_1s_1-c_1,[/mm]
>  
> also
>  
> [mm]s_1+c_1=2c_1s_1+1=s_1^2+2c_1s_1+c_1^2= (s_1+c_1)^2.[/mm]
>  
> Folglich wäre [mm]s_1+c_1=0[/mm] oder [mm]s_1+c_1=1.[/mm]  
>
> Beides ist aber nicht der Fall.
>  
> Fazit: [mm]b=0.[/mm] Aus (3) folgt dann [mm]a=0.[/mm]
>  
> Wegen [mm]1=c_n^2+s_n^2[/mm]  für alle [mm]n[/mm] folgt aber [mm]a^2+b^2=1,[/mm]  ein
> Widerspruch.
>  
> Damit ist [mm](a_n)[/mm] divergent.
>  
>
> __________
>  
> Einfacher ist der Weg durch die komplexen Zahlen. Wir
> beginnen wie oben: [mm]a[/mm] sei der Limes von [mm](s_n)[/mm] und folgern
> wie oben, dass auch [mm](c_n)[/mm] konvergiert zum Grenzwert [mm]b[/mm].
>  
> Wir setzen [mm]k_n: = e^{in}.[/mm] Dann konvergiert [mm](k_n)[/mm] gegen
> [mm]a+ib[/mm].
>  
> Ebenso: [mm]k_{n+1} \to a+ib.[/mm]
>  
> Nun ist aber [mm]k_{n+1}=e^i k_n.[/mm]
>  
> Somit ist [mm]a+ib=e^i(a+ib)[/mm].
>  
> Es folgt [mm]a=0=b[/mm], als Widerspruch wie oben.


Bezug
        
Bezug
Beschränktheit und Monotonie: Grundkenntnisse ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:41 Do 16.02.2023
Autor: Al-Chwarizmi

Sorry ..... aber darf man heutzutage nicht mehr erwarten, dass LernKräft*Innen, welche in einen Kurs über Analysis kommen, wenigstens eine rudimentäre anschauliche Vorstellung von Grundfunktionen wie z.B. der Sinusfunktion haben ?

Bezug
                
Bezug
Beschränktheit und Monotonie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:13 Do 16.02.2023
Autor: HJKweseleit


> Sorry ..... aber darf man heutzutage nicht mehr erwarten,
> dass LernKräft*Innen, welche in einen Kurs über Analysis
> kommen, wenigstens eine rudimentäre anschauliche
> Vorstellung von Grundfunktionen wie z.B. der Sinusfunktion
> haben ?

Na ja, das ist hier vielleicht nicht so einfach abzuhandeln. Schließlich ist [mm] a_n [/mm] = [mm] sin(2\pi n+\pi/(2n) [/mm] monoton fallend...

Bezug
                
Bezug
Beschränktheit und Monotonie: Funktionsgraph
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:07 Fr 17.02.2023
Autor: HJKweseleit

Ich versuche mal, deine Idee aufzugreifen:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Jede Halbwelle der Sinuskurve hat die Länge [mm] \pi [/mm] > 3. Daher findet man dazu passend 3 bis 4 natürliche Zahlen als Argumente zwischen den Nullstellen.

Wäre sin(n) monoton, müsste die Folge wegen der Beschränktheit konvergieren. Nach jeweils 3-4 positiven folgen wieder 3-4 negative Funktionswerte usw. Wegen der wechselnden Vorzeichen könnte die Folge also nur gegen 0 konvergieren. Dann müssten aber irgendwann alle n-Werte nahe den Nullstellen liegen, aber der nächste n-Wert wäre ca. 1 davon entfernt und der dazugehörige Funktionswert etwa [mm] \pm [/mm] 0,84. Also keine Konvergenz, keine Monotonie.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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