Beschränktheit von Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Menge
[mm] M:=\left\{x \in \IR| x = \left(\bruch{1}{n}+1\right)+\bruch{1+(-1)^n}{2n}, n \in \IN\right\}
[/mm]
auf Beschränktheit und bestimmen sie ggf. Infimum und Supremum! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hoffe die klammern sind nicht verwirrend! Ich wusste nicht wie ich das anders korrekt darstellen sollte!
was ich bisher habe:
eine Zahl S heist Supremum der Menge M [mm] \subseteq \IR [/mm] wenn
1) x [mm] \le [/mm] S [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M
2) [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M
ein Zahl s heist Infimum der Menge M [mm] \subseteq \IR [/mm] wenn
1) s [mm] \le [/mm] x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
2) [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M : s + [mm] \varepsilon [/mm] > x
Das ist noch aus der Vorlesung, das sind die Bedingungen.
müsste nicht für das infimun gelten s [mm] \ge [/mm] x?
Beschränktheit heist also es gibt ein Element, welches nicht unterschritten wird und es gibt ein Element welches nicht überschritten wird. Ich stelle mir das anhand der Sinuskurve im Koordinatensystem vor.
Das heist also für mengen das erste und das letzte Element?
so in meiner Menge steht ja 1/ n+1
heist das erstmal n darf nich -1 werden, da division durch 0 nicht definiert ist?
Selbst wenn jetzt n=-1 dann wird ja nur der erste Term 0 dann steht immer noch da (1 +(-1) hoch n)/ 2 n
kommt also immer noch ein Ergebnis raus. Das gleiche gilt für n=0!
2 * 0 = 0. Dann ist der rechte Term 0 und es steht nur noch der linke Term da.
Sind das jetzt schon meine Grenzen? untere -1 obere 0??
oder ist die untere schranke nur 0(da n [mm] \in \IN\ [/mm] ) und es gibt keine obere schranke, da es ins unendliche geht, heist wenn ich für n 206, eingebe was ich mal gemacht habe, dann kommt 1/206 raus. Wenn ich mich nicht verrechnet habe.
LG, Toni
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Nur Hinweise
Supremum ist ein Wert den die Menge nicht überschreitet: s >= x
Infimum ist ein Wert der kleiner gleich jedes Element der Menge ist s <= x
n ist nach Aufgabenstellung ein Element der Natürlichen Zahlen. Also n = 1, 2, 3, 4,.....
Die Überlegung dass n = -1 sein könnte fällt dadurch weg 
Supremum und Infimum sind nicht vom ersten bzw letzten Element abhängig, sondern von der ganzen Menge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
ok dann ist der unterste Wert den die Menge nicht überschreitet 0?
ja das mit -1 hab ich ja auch schon festgestellt.
Ein Wert den die Menge nicht überschreitet, heist das ich suche nicht die kleinste und größte Zahl für n sondern den kleinsten Wert, der im gesamten, also am ende heraus kommt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Master_G_A |
du suchst nach dem supremum und infimum von den x
der kleinste wert von n ist 1 der größte von n ist unendlich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
Ach so ist das,
dann würde ich meinen der größte Wert ist 1
beim kleinsten bin ich mir noch nicht sicher, ob der irgendwann 0 ist
jedenfalls wird der wert immer kleiner je größere Zahlen ich für n einsetze
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hmm..
für n = 1:
(1+1) + 0
für n = 2:
(1/2 + 1) + 1/2
je größer die n werden, desto kleiner werden die Werte der Brüche.
1/n für ein n, was gegen unendlich geht, geht gegen 0.
also hast du (sehr unmathematisch ) für sehr große ungerade n:
(0+1) + 0
für große gerade n:
(0 + 1) + 2/unendlich ..... also auch (0 + 1) + 0
Jetzt musst du nur noch herausfinden, wo die Werte für n>2 liegen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
Ich verstehe deine Rechnungen nicht.
wenn ich 1 einsetze kommt bei mir 1/2 am ende raus
also 1/2 +0/2= 1/2
ich habe in meiner Ersten Antwort ein Bild angehangen, vllt guckst du dir das mal an.
Aber vielen dank schon mal, das du mir hilfst!
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das ändert natürlich einiges
hab die Gleichung die in deiner Frage stand genutzt.
da steht bei mir (1/n)+1 + .....
so ist es für n = 1:
1/2 + 0
n=2:
1/3 + 1/2
nur n gegen unendlich:
"0 + 0"
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
genau!
das hab ich auch raus!
wenn man jetzt für n=0 einsetzt kommt am ende 1 raus.
das ist meiner meinung nach das größte Element welches für x rauskommt, danach werden die Werte immer kleiner.
Das heist also größte obere Schranke = 1 oder?
und dann gehts nach null...
heißt alle Werte bewegen sich zwischen 1 und 0
ist das so richtig?
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da schaust du nochmal kurz in meine erste Antwort.
Da hab ich dir gesagt wie n definiert ist.
danach solltest du dein ergebnis haben
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
ja wie ich schon gefragt habe, zählt 0 nun zu den natürlichen Zahlen oder nicht?
bei wiki schreiben sie oft wird auch die 0 mit zugerechnet.
die untere Schranke ist aber in jedem Fall 0. oder liege ich da falsch?
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soweit ich weiß, werden bei Mengen, Folgen und Reihen die Natürlichen Zahlen alle ganzen Zahlen > 0 gezählt:
also: n = 1, 2, 3, 4, ....
Dies ist bei dir auch so gemeint.
Soll die Null dazugehören, wird meist ein Index 0 an das große N gehängt.
also: [mm] N_0 [/mm]
Auf jeden Fall solltest du niemals versuchen durch 0 zu teilen, da dieses nicht definiert ist.
Das infimum ist für n [mm] \to \infty [/mm] 0
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
ok
dann habe ich jetzt durch werte einsetzten rausbekommen:
obere Schranke= 0,83´
untere Schranke=0
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joo....
ich hätte 5/6 und 0 genommen
Diese Werte sind aber sogar Supremum und Infimum. Nicht nur obere und untere Schranke.
Supremum: kleinste obere Schranke; Infimum: größte untere Schranke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
ok.
ja 5/6 is genauer als 0,83´
gut dann bedanke ich mich bei dir, hast mir sehr geholfen!
Dann wünsche ich dir noch einen schönen Abend!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Master_G_A |
betrachte deine Menge mal für gerade und ungerade n
vor allem den Teil mit [mm] (-1)^n
[/mm]
Mit freundlichem Gruß
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eine Zahl S heist Supremum der Menge M $ [mm] \subseteq \IR [/mm] $ wenn
1) x $ [mm] \le [/mm] $ S $ [mm] \forall [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ M
2) $ [mm] \forall \varepsilon [/mm] $ > 0 $ [mm] \exists [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ M: s - $ [mm] \varepsilon [/mm] $ < x
ein Zahl s heist Infimum der Menge M $ [mm] \subseteq \IR [/mm] $ wenn
1) s $ [mm] \le [/mm] $ x $ [mm] \forall [/mm] $ x $ [mm] \in \IR [/mm] $
2) $ [mm] \forall \varepsilon [/mm] $ > 0 $ [mm] \exists [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ M : s + $ [mm] \varepsilon [/mm] $ > x
beim supremum bedeutet das: Zeihe ich etwas unglaublich kleines ( $ [mm] \varepsilon [/mm] $ ) vom Supremum ab, gibt es mindestens ein x was größer ist als die Differenz s - $ [mm] \varepsilon [/mm] $
beim infimum ähnlich
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