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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Do 27.10.2005 | | Autor: | Freak84 |
Hi Leute ich habe hier ein Problem.
[mm] \{ \varepsilon_{i} | 1 \le i \le 3 \} [/mm] seien die Koordinaten eines Punktes im Affinem Raum [mm] A^{3} [/mm] (R) .
Man beschreibe die Punktmenge in [mm] A^{3} [/mm] (R), die durch
[mm] \summe_{i,j=1}^{3} \alpha_{ij} \varepsilon_{i} \varepsilon_{j} [/mm] = 0
für [mm] \alpha_{ij} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ } [/mm] definiert wird.
Ich weiß wir befinden uns in einem 3 dim Raum und [mm] \varepsilon_{i} [/mm] ist ein Punkt des Raumes und [mm] \varepsilon_{j} [/mm] ist auch ein Punikt des Raumes.
Allerdings weiß ich nicht, was die Matrix über den Raum aussagt und wie ich die gleichung verstehen soll.
Die Matrix mit den Koordinaten multipliziert und aufaddiert soll = 0 sein oder wie ?
Und wie kann ich dann ein schluss über die Punktemenge ziehen ?
Vielen Dank für eure Hilfe
Michael
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Hallo Freak84,
Das Ganze ist eigentlich nicht besonders schwer. Die Gleichung, die ein Punkt erfüllen muss, lautet:
[mm] $\varepsilon_1*\varepsilon_2$ [/mm] + [mm] $\varepsilon_2*\varepsilon_1$ [/mm] + [mm] $\varepsilon_2*\varepsilon_3$ [/mm] * [mm] $\varepsilon_3*\varepsilon_2$ [/mm] = 0
[mm] $\varepsilon_2$ [/mm] lässt sich herausheben, also ist [mm] $\varepsilon_2$ [/mm] =0 oder
[mm] $2*\varepsilon_1 [/mm] + [mm] 2*\varepsilon_3=0$ [/mm] <=> [mm] $\varepsilon_1 [/mm] = [mm] -\varepsilon_3$
[/mm]
Die Lösungsmenge lautet also:
[mm] $\{ (\varepsilon_1,\varepsilon_2\varepsilon_3) \in A^3(\IR) : \varepsilon_2=0 \textnormal{ oder } \varepsilon_1 = -\varepsilon_3 \}$
[/mm]
Liebe Grüße,
Holy Diver
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