Besondere Lage von Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:00 Fr 01.07.2005 | | Autor: | linea |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich habe eine Frage , und habe leider selber überhaupt keine idee wie ich die aufgabe lösen kann und in meinem mathebuch habe ich leider auch keine antwort darauf gefunden.
weiß jemand welche besondere Lage die folgenden Ebenen haben?
1 : x1 = x2
2 : x2 = 0
3 : 2*x1 + 6*x3 =1
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Hallo!> Ich habe eine Frage , und habe leider selber überhaupt
> keine idee wie ich die aufgabe lösen kann und in meinem
> mathebuch habe ich leider auch keine antwort darauf
> gefunden.
> weiß jemand welche besondere Lage die folgenden Ebenen
> haben?
>
> 1 : x1 = x2
> 2 : x2 = 0
> 3 : 2*x1 + 6*x3 =1
Also, bei der ersten bin ich noch schwer am Überlegen. Aber bist du sicher, dass das eine eindeutige Ebene ist? Aber vielleicht ist es auch nur schon zu spät...
Die zweite Ebene ist die [mm] x_1-x_3-Ebene, [/mm] das sollte man sich merken. Versuch mal, es dir vorzustellen. Wenn [mm] x_2 [/mm] überall gleich 0 ist, dann können die Punkte ja nur in der [mm] x_1-x_3-Ebene [/mm] liegen, oder? Und zu Übung kannst du ja dann mal Gleichungen für die [mm] x_1-x_2-Ebene [/mm] und die [mm] x_2-x_3-Ebene [/mm] angeben. 
Bei der dritten würde ich sagen, dass es da gar keine "besondere" Lage gibt...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hi linea,
die erste Ebene liegt senkrecht über der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten der [mm] x_{1}-x_{2}-Ebene.
[/mm]
Um es dir zu veranschaulichen: stell dir die Gleichung mal im [mm] \IR^{2} [/mm] vor. Es ist eine ganz normale Gleichung: z.B. y=x.
Das ist die I. Winkelhalbierende in der Ebene. Da die letzte Koordinate egal ist [mm] (x_{3} [/mm] kommt nicht vor), steht diese Ebene im Raum senkrecht auf dieser Winkelhalbierenden. Außerdem beinhaltet diese Ebene die [mm] x_{3}-Achse.
[/mm]
Zur letzten Ebene kann ich auch nichts sagen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:26 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
Ueber eine nette Begruessung wuerde sich sicher jeder hier in diesem Forum freuen.
(wird langsam fad das am Anfang sagen zu muessen)
> 1 : x1 = x2
> 2 : x2 = 0
> 3 : 2*x1 + 6*x3 =1
Um die dir Ebenen besser vorstellen zu koennen fallen mir ad hoc 2 Moeglichkeiten ein:
1.) Mit Hilfe der Normalvektoren:
Forme die Gleichungen so um, dass x1, x2, x3 auf einer Seite der Gleichung stehen:
a) [mm] x1 = x2 \gdw x1 - x2 = 0 \Rightarrow \vec{n} = \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm]
nachdem es eine homogene Gleichung ("= 0") ist, geht die Ebene durch den Ursprung.
Also stell dir mal den Vektor im Ursprung vor und eine Ebene normal zu diesem Vektor (durch den Ursprung).
b) [mm] x2 = 0 \Rightarrow \vec{n} = \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm]
(das selbe wie bei a)
(obwohl hier sieht man ja, das x1, x3 alle Werte annehmen duerfen, nur x2 muss 0 bleiben)
c) [mm] 2*x1 + 6*x3 = 1 \Rightarrow \vec{n_1} = \vektor{2 \\ 0 \\ 6} bzw. \vec{n} = \vektor{1 \\ 0 \\ 3}[/mm]
dann rechnest du dir einen Punkt aus. Setz z.b. x3=0, dann erhaelst du einen Punk P = (0.5 / 0 / 0).
Also stell dir (oder zeichne) den Vektor im Punkt P vor, und die Ebene normal dazu (auch durch Punkt P).
2.) speziell fuer diese Angaben:
stell dir die Aufgabe 2-dimensional vor, indem du eine Koordinaten-Achse weglaesst, die in der Gleichung nicht vorkommt. Zeichne die Gerade in dem 2-dimensionalen Koordinatensystem der uebriggebliebenen Koordinaten-Achsen. Stell dir die fehlende Koordinatenachse normal zum Papier vor. Die gesuchte Ebene steht nun normal zum Papier und geht durch die Gerade durch.
wahrscheinlich ist die 2. Moeglichkeit einfacher vorzustellen.
war das verstaendlich?
lG
Peter
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Dadurch, dass in jeder Ebenengleichung nur zwei Variablen (ich nenne sie x, y und z) auftauchen, kann man sich das Ganze jeweils sehr einfach vorstellen:
x = y
Also: alle Punkte, bei denen x und y gleich sind. Dabei ist z beliebig.
Stelle die folgendes räumliches Koordinatensystem vor: Du stehst in einem Quaderförmigen Raum. Der Fußboden ist das x-y-Koordinatensystem. Stelle dich so in eine Ecke, dass links von dir und hinter dir die Wand ist. Dann ist die Kante Fußboden-linke Wand die y- und die Kante Fußboden-Wand hinter dir die y-Achse. Die Kante an deiner linken Schulter vom Fußboden nach oben ist die z-Achse.
Wo ist jetzt x=y? Das ist die 45 °-Linie auf dem Fußboden. Alle Punkte auf dieser Linie gehören zur gesuchten Ebene. Da nun z egal ist, gehören alle Punkte über und unter dieser Linie mit zu der Ebene, so, als wenn du eine senkrechte Wand durch den Raum ziehst. Stelle Dir nun noch vor, die Wand geht unterhalb deines Fußbodens im Stockwerk weiter und ebenso durch die Raumecke, in der du stehst (negative x-, y- und z- Werte. Dann hast du die ganze gesuchte Ebene.
y=0 ist nun auch klar: Auf dem Fußboden ist das die x-Achse, und da z wieder beliebig ist, alles über und unter der x-Achse, also die Wand hinter dir in jeder Verlängerung (oben, durch den Boden, links zum Nebenraum ...
Dies nennt man auch die x-z-Ebene, weil sie von der x- und z-Achse "aufgespannt" wird.
2x+6z=1
Dreh dich nun um. Die Wand, vor die du schaust, ist die x-z-Ebene, wobei nun aber die x-Achse leider nach links läuft. Umgestellt ergibt die Gleichung : z = -(1/3)x + 1/6. Das gibt an der Wand eine Gerade mit der Steigung -1/3 und dem Achsenschnittpunkt 1/6. Du machst also rechts auf der z-Achse in Höhe 1/6 einen Strich und gehst von da aus geradlinig an der Wand immer einen cm nach links und 1/3 cm nach unten (nach 50 cm links bist du unten auf dem Fußboden). Eigentlich müsstest du immer nach rechts gehen, aber zur Erinnerung: Da du dich umgedreht hast, läuft die x-Achse sozusagen in die "falsche" Richtung. Da nun über y nichts ausgesagt wird, sind nun alle y-Werte beliebig. Du musst sozusagen die Linie an der Wand nun in deinen Raum hineinziehen und erhälst so eine "Rampe", die (wenn du dich wieder in die alte Position umgedreht hast) links an der gesamten Wand in 1/6 m Höhe anfängt und nach 50 cm im Raum den Fußboden berührt. Diese Rampe stellst du dir nun wieder durch die Wände/den Fußboden verlängert vor, so dass du die ganze Ebene bekommst.
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