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Bestapproximation: Frage
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 19:04 Mi 15.06.2005
Autor: Joergi

Hallo zusammen,

ich muss noch 3 Unteraufgaben zur Bestapproximation zeigen, zu denen ich keinen rechten Anfang finde, vielleicht hat ja jemand eine Idee?

Es sei [mm]P_k[/mm] der Raum der Polynome vom Grade kleiner als k, [mm]f \in C[a,b][/mm].

Gezeigt habe ich schon die Minimierungeigenschaft:
Es ex. ein [mm]p^\* \in P_k mit: ||f-p^\*||_{\infty}=min||f-p||_{\infty}[/mm].


1)Der Approximationsfehler von [mm]q \in P_k[/mm] sei alternierend,
d.h.: Es ex. [mm]a<=x_0       und [mm]f(x_{i+1})-q(x_{i+1})=-(f(x_i)-q(x_i)) für i\in{0,1,2,...k}[/mm].

Zeige: Es ex. kein Polynom [mm]p \in P_k mit (f(x_i)-q(x_i))p(x_i)>0[/mm] für alle i.

Ich habe es bislang mit einem Widerspruchsbeweis versucht, bin aber nicht sehr weit gekommen.

2)
Zz: Der Approximationsfehler von [mm]p^\* \in \P_k[/mm] ist alternierend
=>  [mm]p^\*[/mm] besitzt die Minimierungseigenschaft.

Als Hinweis: Man benutze 1) in einem Beweis durch Widerspruch.


3)
Zu einem [mm]q \in P_{k}[/mm] seien Punkte [mm]a\le x_{0}\le x_{1}\le .... x_{k+1}\le b[/mm] bekannt, von denen wir wissen, dass [mm](f(x_{i+1}) - q(x_{i+1}) *(f(x_{i}) - q(x_{i}) \le 0 [/mm] für [mm]i \in {0,1,2, ...,k}[/mm].

Ich soll nun zeigen, dass:

[mm]min_{0 \le i \le k+1}|f(x_{i}) - q(x_{i})| \le min_{p \in k}||f-p||_{ \infty}[/mm] ist.

In einem Hinweis sagt man uns, dass wir durch Widerspruch [mm]p^{\*}-q=f-q-(f-p^{\*})[/mm]
mit [mm]p^{\*} \inP_{k} und ||f-p^{\*}||_{\infty}=inf_{p \in P_{k}||f-p||_{\infty}[/mm] beweisen sollen, wobei ich den Teil schon bewiesen habe.

Ich hoffe es kann mir jemand helfen, im Voraus vielen Dank!

Gruss Joergi



        
Bezug
Bestapproximation: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:29 Fr 17.06.2005
Autor: Julius

Hallo Jörg!

Es tut mir leid, dass dir bei deiner Frage in dem von dir vorgesehenen Fälligkeitszeitraum keiner weiterhelfen konnte. Vielleicht hast du ja beim nächsten Mal wieder mehr Glück. [kleeblatt]

Viele Grüße
Julius

Bezug
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