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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Do 22.11.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Sei [mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
Berechnen Sie [mm] A^{n} [/mm] für jedes n [mm] \in \IN_{0}=\IN \cup [/mm] { 0 }. |
Hey Leute,
habe mich an obige Aufgabe gemacht und frage mich nun, ob ich dass so machen kann.
Also erstmal habe ich mir die Entwicklung von [mm] A^{n} [/mm] für n=1,2,3,4,5,6 ........ was an sich nicht nötig wäre, da ab n=3 das Ergebnis die Nullmatrix ist.
Dann habe ich angefangen mit:
[mm] A^{n}=A^{n-1}*A=...=A^{n-3}*A^{3}=A^{n-3}*\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
Frage ist nur, kann ich das so machen??
Bitte um Antwort
Silfide
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moin,
Das kannst du so machen, wenn du bereits [mm] $A^3 [/mm] = 0$ gezeigt hast.
Dann kannst du es aber nur für $n>3$ machen.
Das heißt du musst also $n=0$, $n=1$ sowie $n=2$ noch von Hand nachrechnen.
Ich würde dir auch raten damit anzufangen, dann hat das ganze eine etwas übersichtlichere Form:
[mm] $A^0 [/mm] = ...$
[mm] $A^1 [/mm] = ...$
[mm] $A^2 [/mm] = ...$
[mm] $A^3 [/mm] = ...$
[mm] $A^n [/mm] = ...$ für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n>3$
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Do 22.11.2012 | | Autor: | silfide |
Hallo Shadow,
gibt es noch ne andere Möglichkeit??
Silfide
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Inwiefern?
Du sollst alle Potenzen berechnen, also sehe ich keinen anderen Weg als sie auch wirklich alle zu berechnen; die für $n>3$ halt auf den Fall $n=3$ zurück führen.
Das sind 2 Matrixprodukte und eine kleine Argumentation, ich sehe nicht wie oder wieso man da etwas anders machen sollte.
Also verrate doch mal, was dich daran noch stört; dann gibt es vielleicht einen Weg das zu umgehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Fr 23.11.2012 | | Autor: | silfide |
Naja, ich dachte es gebe vllt. eine elegantere Lösung [mm] A^{n} [/mm] zu berechnen, ohne [mm] A^{1},A^{2},A^{3} [/mm] und [mm] A^{n} [/mm] für n>3 anzugeben. Vllt. mit einer Entwicklung von n in der Matrix [mm] A^{n} [/mm] selbst.
Keine Ahnung, war nur so ein Gedanke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Naja, ich dachte es gebe vllt. eine elegantere Lösung
> [mm]A^{n}[/mm] zu berechnen, ohne [mm]A^{1},A^{2},A^{3}[/mm] und [mm]A^{n}[/mm] für
> n>3 anzugeben. Vllt. mit einer Entwicklung von n in der
> Matrix [mm]A^{n}[/mm] selbst.
wie sollte sowas denn aussehen? Und was wäre der Vorteil davon?
> Keine Ahnung, war nur so ein Gedanke.
Keine Ahnung, aber das klingt nach "willkürlichem Raten". Du kannst doch,
wie gesagt, mit Deiner Lösung absolut zufrieden sein! 
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Silfide,
> Hallo Shadow,
>
> gibt es noch ne andere Möglichkeit??
ich frage mich auch, wozu:
[mm] $A^0=$entsprechende [/mm] Einheitsmatrix.
[mm] $A^1=A\,$
[/mm]
[mm] $A^2=$... [/mm] Ergebnis Deiner Rechnung
[mm] $A^3=$entsprechende [/mm] Nullmatrix (ich habe es NICHT nachgerechnet)
Wenn Du willst, kannst Du nun ein wenig ausführlicher schreiben:
[mm] $$A^n=A^3*A^{n-3}$$
[/mm]
(oder [mm] $A^n=A^{n-3}*A^3$)
[/mm]
gilt für alle natürlichen $n > [mm] 3\,$ [/mm] wegen des Assoziativgesetzes für die
Matrixmultiplikation (mit passenden Dimensionen der Matrizen). Ist Dir das
klar, dass man das da benutzt?
Und der Rest folgt dann eben, weil Nullmatrix multipliziert mit einer
(dimensionspassenden) Matrix eben wieder eine entsprechende Nullmatrix
ergibt. (Ich meine damit: Im Allgemeinen ergibt das Produkt der $m [mm] \times [/mm] n$-Nullmatrix
mit einer $n [mm] \times [/mm] p$-Matrix die $m [mm] \times [/mm] p$-Nullmatrix - aber bei Dir sind
[mm] $m=n=p=3\,$ [/mm] hier.)
P.S. Das hier [mm] $A^{n-3}*A^3=A^3*A^{n-3}$ [/mm] für obige $n > [mm] 3\,$ [/mm]
geschrieben werden kann, darf man natürlich nicht damit begründen, dass
die Matrixmultiplikation kommutativ sei - i.a. ist sie das ja eben nicht,
selbst, wenn für Matrizen [mm] $A,B\,$ [/mm] beide Produkte [mm] $A*B\,$ [/mm] und [mm] $B*A\,$
[/mm]
definiert sind. Warum aber darf man wohl
[mm] $$A^{n-3}*A^3=A^3*A^{n-3}$$ [/mm]
schreiben? (Das ginge auch, wenn [mm] $A^3\,$ [/mm] und [mm] $A^{n-3}$ [/mm] beide nicht die
Nullmatrix wären!)
Gruß,
Marcel
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