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Also erst einmal ein riesiges Kompliment an euch. So schnell wie ihr auf Fragen Antwortet und so kompetent, das gibt es nur in wenigen Foren.
Wollte nur mal wissen wie ihr bei folgender Aufgabe vorgehen würdet.
a) [mm] \bruch{5x+1}{x-1}>1 [/mm] b) [mm] \bruch{1}{2-x} [/mm] + [mm] \bruch{5}{2+x}<1
[/mm]
Ich soll alle x [mm] \in \IR [/mm] bestimmen. Würde jetzt ersteinmal die Polstellen a) 1 und b)2, -2 annehmen. Dann würde ich Grenzwertbestimmung gegen die Polstellen vornehmen.
Bin ich da erstmal auf dem richtigen Weg?
Bei a würde ich das x-1 auf die rechte Seite bringen so das ich auf x>- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] komme. Jedoch ist die Funktion nicht für [mm] 1\gex\ge- \bruch{1}{2} [/mm] definiert. Kann mir einer sagen wo bei mir der Denkfehler steckt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 So 17.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Studi 
> Also erst einmal ein riesiges Kompliment an euch. So schnell wie ihr auf Fragen Antwortet und so kompetent, das gibt es nur in wenigen Foren.
Danke! Wenn jemand das so erkennt und würdigt, dann freuen wir uns sehr darüber! Es basiert alles auf Gegenseitigkeit: wer seine Fragen vernünftig stellt, bekommt vernünftige Antworten :)
Nun aber zu deinem Problem:
Ich würde die Polstellen erst einmal außer Acht lassen und sie dazu benutzen, eine geeignete Fallunterscheidung durchzuführen. Hast du nämlich einen Nenner, der sowohl negativ als auch positive Werte annehmen kann, wie es ja auch hier der Fall ist, so kannst du die Fälle prüfen, für die der Nenner negativ ist, und danach die, für die er positiv ist. Das ist sehr wichtig, da du, falls der Nenner negativ ist, beim Multiplikation mit ihm das Ungleichungszeichen umkehren musst. Für einen positiven Nenner bleibt er halten. Du musst also so rangehen:
Für $x>1$ soll gelten:
[mm] $\frac{5x+1}{x-1}>1$
[/mm]
$5x+1>x-1$
Du siehst - ich habe das Ungleichungszeichen nicht umkehrt, eben weil $x-1$ für jedes $x$ im Intervall [mm] $]1;\infty[$ [/mm] positiv ist.
Für $x<1$ soll gelten:
[mm] $\frac{5x+1}{x-1}>1$
[/mm]
$5x+1<x-1$
Hier musste ich das $>$ in ein $<$ umkehren, da ich mit einer negativen Zahl multipliziert habe.
Diese beiden Ungleichungen kannst du nun auflösen und dann die Ergebnisse für $x$ auf, und das ist wichtig, die Bereiche von $x$ übertragen, in denen du $x$ von vornerein beschränkt hast. Eine Lösung $x<0$ bringt dir in der ersten Fallunterscheidung also nichts, da du schon angenommen hast, dass $x>1$ gelten soll.
Meiner Meinung nach kannst du über die Polstellen keine Aussage treffen, da die Funktion dort schlichtweg nicht definiert ist. Bitte belehrt mich, wenn dem nicht so ist.
Bei (b) würde ich ebenso vorgehen wie bei (a), vorher jedoch die Brüche durch Erweiterung auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
So, versuch mal, (a) zuende zu machen und bei (b) loszulegen. Bei weiteren Fragen melde dich!
Liebe Grüße,
Hanno
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Hi,
Es gibt da eine Methode mit der das Ganze ziemlich schnell und einfach gelöst werden kann:
[m]\begin{gathered}
\frac{{5x + 1}}
{{x - 1}} > 1 \Rightarrow \frac{{5x + 1}}
{{x - 1}} - 1 > 0 \Rightarrow \frac{{5x + 1}}
{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}
{{x - 1}} > 0 \Rightarrow \frac{{5x + 1 - x + 1}}
{{x - 1}} > 0 \Rightarrow \frac{{4x + 2}}
{{x - 1}} > 0 \hfill \\
\mathop \Rightarrow \limits^{*\left( {x - 1} \right)} 4x + 2 > 0\mathop \Rightarrow \limits^{*\left( {x - 1} \right)} \left( {4x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) > 0 \Rightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) > 0 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Ich habe die Ungleichung wie du siehst zwei mal mit [mm] $\left(x-1\right)$ [/mm] malgenommen, damit eine Lösung der Gleichung nicht verloren geht!
Der Trick ist jetzt alle Nullstellen des linken Polynoms auf dem Zahlenstrahl gemäß ihrer Größe anzuordnen. In diesem Falle gilt [mm] $-\bruch{1}{2} [/mm] < 1$, demnach steht die 1 ganz rechts.
Dann ziehst du eine Kurve durch die Nustellen wobei du vom Positiven oberen Bereich ausgehst. Keiner der Polynomfaktoren ist quadratisch z.B. [mm] $\left(2x+1\right)^2$ [/mm] oder [mm] $\left(2x+1\right)^4$, [/mm] demnach findet hier ein Vorzeichenwechsel statt und die Kurve geht vom positiven in den negativen Bereich, und dann wieder zurück. Da du alle Lösung > 0 haben willst, guckst du auf die positiven Bereiche und liest einfach ab:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[m] \Rightarrow \left( {x < - \frac{1}
{2}} \right) \vee \left( {1 < x \Rightarrow x > 1} \right)[/m]
Und jetzt zu b):
[m]\begin{gathered}
\frac{1}
{{2 - x}} + \frac{5}
{{2 + x}} < 1 \Rightarrow \frac{{2 + x + 5\left( {2 - x} \right)}}
{{4 - x^2 }} < 1 \Rightarrow \frac{{2 + x + 10 - 5x}}
{{4 - x^2 }} < 1 \Rightarrow \frac{{12 - 4x}}
{{4 - x^2 }} - \frac{{4 - x^2 }}
{{4 - x^2 }} < 0 \hfill \\
\Rightarrow \frac{{12 - 4x - 4 + x^2 }}
{{4 - x^2 }} < 0 \Rightarrow \frac{{x^2 - 4x + 8}}
{{4 - x^2 }} < 0 \Rightarrow \underbrace {\left( {x^2 - 4x + 8} \right)}_{\begin{subarray}{l}
{\text{Lä{\ss}t sich leider nicht}} \\
{\text{in reelle Faktoren}} \\
{\text{zerlegen}}{\text{.}}
\end{subarray}} \left( {4 - x^2 } \right) < 0 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Das Polynom [mm] $x^2-4x+8$ [/mm] stört uns gewaltig , also denken wir uns dieses "Ding" einfach weg. Wir können das hier tun, weil [mm] $x^2$ [/mm] schneller wächst als $4x$. Wenn wir negative Werte einsetzen, dreht sich das Vorzeichen bei $-4x$ um und das ganze bleibt positiv. Wenn wir Werte von 0 bis 4 einsetzen bleibt es positiv(, probiere es aus). Für Werte oberhalb von 4 ist es sowieso immer positiv. Deshalb kann man dieses Polynom wie eine Art positive Zahl K betrachten und auf beiden Seiten durch K dividieren. Jetzt können wir wieder unsere Methode anwenden:
[mm] $\left(2-x\right)\left(2+x\right) [/mm] < 0$
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] $\Rightarrow \left(x < -2\right) \vee \left(2 < x \Rightarrow x > 2\right)$
[/mm]
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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