Bestimmen des taylorpolynom < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe
Gegeben f(x)=2cos(x)
[mm] g(x)=2(x-\bruch{1}{2})^2
[/mm]
h(x)=f(x)-g(x) [mm] x_{0}=0
[/mm]
Gesucht Taylorpolynom [mm] T_{2}
[/mm]
Lösung
[mm] h(x)=2cos(x)-2x^{2}-2x+\bruch{1}{2}=\bruch{5}{2}
[/mm]
h'(x)=-2sin(x)-4x-2=-2
h''(x)=-2cos(x)-4 =-6
Taylor Polynom [mm] P_{n}=f(x_{0)}+\bruch{1}{1!}*f´(x_{0})(x-x_{0})^1+\bruch{1}{2!}f''(x_{0})(x-x_{0})^2
[/mm]
[mm] P_{2}=\bruch{5}{2}-2x-3x^{2}
[/mm]
Ist das bis hierhin richtig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Di 17.03.2009 | | Autor: | Christopf |
Hallo
Das neu aufgestellte Taylor Polynom ist:
[mm] T_{2}=-3x^{2}-\bruch{2}{3}x-\bruch{1}{2}
[/mm]
Die Nullstelle [mm] x_{1}=\bruch{1}{3}+\wurzel{\bruch{22}{6}}
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{1}{3}-\wurzel{\bruch{22}{6}}
[/mm]
Ich Habe zusätzlich gegeben ein Intervall [mm] [0,\bruch{\pi}{2}]
[/mm]
Ich weis laut Unterlagen das man bei solchen Funktionen eine Fehlerrechnung für einen bestimmten Intervall rechnet.
Ich weis jetzt nicht so richtig was für ein Fehler bei dieser Funktion berechnet werden kann.
Ist das jetzt soweit richtig.
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Hallo
Wie kann ich zu dieser Funktiondie Nullstellen berechnen?
Ich wollte mit dem Newton Verfahren das handschriftlich lösen und nicht mit ein Matheprogramm.
[mm] T_{2}=-3x^{2}+2x+ \bruch{3}{2}
[/mm]
Jetzt zu mein Problem: Welchen Startwert muss man da wählen
Recht das dann mit den Newton
Verfahren bis bis [mm] x^{2} [/mm] zu rechen
oder muss man da noch weiter
rechnen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Di 17.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo
>
> Wie kann ich zu dieser Funktiondie Nullstellen berechnen?
>
> Ich wollte mit dem Newton Verfahren das handschriftlich
> lösen und nicht mit ein Matheprogramm.
>
> [mm]T_{2}=-3x^{2}+2x+ \bruch{3}{2}[/mm]
>
> Jetzt zu mein Problem: Welchen Startwert muss man da
> wählen
> Recht das dann mit den Newton
> Verfahren bis bis [mm]x^{2}[/mm] zu rechen
> oder muss man da noch weiter
> rechnen.
Hallo,
warum überhaupt Newton? Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen kann doch hier verwendet werden (und bringt im Gegensatz zum Newton-Verfahren beide Lösungen).
Gruß Abakus
>
>
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Hallo
Kann mir jemand sagen wie ich mit den gegebenen Intervall die Fehlerrechnung lösen kann.
Und was sagt mir eigentlich die Fehlerrechnung bei dieser Funktion?
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Hallo
Liegt der Fehler bei der Funktion [mm] T_{2}=-3x^{2}-\bruch{2}{3}x-\bruch{1}{2}
[/mm]
bei [mm] \bruch{x^{3}}{3!}\le \bruch{(\bruch{\pi}{2})^{3}}{3!}=0645964
[/mm]
Ist das richtig
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mi 18.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was war eigentlich die genaue Aufgabe?
klar ist, dass du [mm] T_2 [/mm] aufstellen solltest.
Du kannst den Fehler von T2 mit einer Abschaetzung des Restglieds rauskriegen, aber das sagt dir nur wie weit vom Wert der fkt. der Wert von [mm] T_2 [/mm] abweichen kann.
Also musst du schon die genaue Aufgabe zitieren.
Falls du das Restglied willst sag erst , was du fuer f''' raus hast.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:39 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Christopf |
Hallo
Was die genaue Aufgabe war kann ich nicht genau sagen. Ich habe nur eine Mittschrift aus einer alten Klausur.
Da sollte ich das Talorpolynom [mm] T_{2} [/mm] erstellen und da war auch ein Intervall angegeben. Laut Unterlagen vermute ich das der Lehrer wollte das wir zu dem Talorpolynom auch das Restglied bestimmen sollen.
für h'''(x) = 2*sin(x)=0
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Hallo
Ist das Restglied richtig bestimmt
Danke
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> Hallo
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> Ist das Restglied richtig bestimmt
>
> Danke
Hallo,
für die Angabe der max. Abweichung zum Taylorpolynom ist es von Belang, wie groß das x sein darf, und dies gibst Du nicht an, deshalb kann man die Richtigkeit Deiner Abschätzung nicht beurteilen.
Je dichter man in der Nähe der 0 bleibt, desto geringer wird die Abweichung zwischen Taylorpolynom und Funktion sein. Du siehst das sehr schön, wenn Du Dir mal eine Funktion mit ihren ersten paar Taylorpolynomen plottest.
Das 2.te Lagrangesche Restglied ist ja
[mm] $R_{2}(x) [/mm] = [mm] \frac{f^{(3)}(\xi)}{(3)!} x^3$ \qquad [/mm] für ein [mm] \xi [/mm] zwischen 0 und x.
Hier
[mm] $R_{2}(x) [/mm] = [mm] \frac{f^{(3)}(\xi)}{(3)!}x^3= \frac{2sin(\xi)}{(3)!}x^3\le \frac{2}{(3)!}x^3.$
[/mm]
Wie man nun weiter abschätzen kann, hängt wie erwähnt davon ab, wie groß x sein darf. Soll man im Intervall [mm] [0,\bruch{\pi}{2}] [/mm] abschätzen, so ist [mm] \frac{2}{(3)!}(\bruch{\pi}{2})^3 [/mm] die max. Abweichung zwischen f und [mm] T_2.
[/mm]
Sofern (!) dies die Aufgabe war, ist Deine Abschätzung also nicht ganz richtig.
Gruß v. Angela
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Hallo angela
Man soll halt die Funktion im [mm] [0,\bruch{\pi}{2}] [/mm] und mehr weis ich nicht zu diesen zusammenhang. Wie ich schon gepostet habe, hat der Lehrer das am Beispiel der cos-Funktion gezeigt. Er hat bei der Restgliedbetimmung nur [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] eingesetzt. Da wurde mir im Forum geschrieben, weil die cso Funktion symmetrisch ist.
Jetzt zu meiner Aufgabe
Die ist ja auch symmetrisch und deswegen habe ich auch nur [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] eingesetzt.
Kannst du mir zeigen wie ich das richtig rechnen muss,weil ich das Gefühl habe das du die richtige Vermutung hast.
Danke
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> Hallo angela
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> Man soll halt die Funktion im [mm][0,\bruch{\pi}{2}][/mm] und mehr
> weis ich nicht zu diesen zusammenhang.
hallo,
dann habe ich ja richtig geraten.
Genau diesen Fall habe ich vorgerechnet.
Die zwei "Tricks". ich weiß, daß der sin niemals größer als 1 wird, also konnte ich [mm] sin(\xi) [/mm] durch 1 abschätzen.
Da man nur x betrachtet, die kleiner als [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] sind, muß [mm] x^3 <(\bruch{\pi}{2})^3 [/mm] sein.
Das ist schon alles, sieh dir daraufhin nochmal an, was ich zuvor schrieb.
> Jetzt zu meiner Aufgabe
>
> Die ist ja auch symmetrisch und deswegen habe ich auch nur
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] eingesetzt.
Die Symmetrie habe ich hier nicht verwendet. Wir sind im Intervall [mm] [0,\bruch{\pi}{2}], [/mm] und der größte wert, den sin hier annimmt, ist 1.
> Kannst du mir zeigen wie ich das richtig rechnen muss,
Hab' ich zuvor getan. Das war's.
Gruß v. Angela
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Hallo
könnte es sei das dir ein Fehler unterlaufen ist?
Das das [mm] x^{3}\le \bruch{(\bruch{\pi}{2})^{3}}{3!} [/mm] heißen müsste
Danke
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> Hallo
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> könnte es sei das dir ein Fehler unterlaufen ist?
Hallo,
klar könnte das sein, ich mache leider manchmal Fehler. Aber diesmal zum Glück nicht.
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> Das das [mm]x^{3}\le \bruch{(\bruch{\pi}{2})^{3}}{3!}[/mm] heißen
> müsste
Nein, das soll so heißen, wie ich es (hoffentlich) geschrieben habe: [mm] x^3\le (\bruch{\pi}{2})^{3}. [/mm] Weil doch [mm] x\in [/mm] [0, [mm] \bruch{\pi}{2})].
[/mm]
Ich verwende das dann hier zum Abschätzen, an der Stelle, an welcher das x von der Bildfläche verschwindet.
Gruß v. Angela
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Dank deiner Unterstützung habe ich jetzt die Fehlerabschätzung gelöst
Das ist ein Fehler von 3,875.
Was sagt mir der Wert. Ich hatte vermutet das ein Wert von 0,... rauskommt.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Mi 18.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was hast du denn eingesetzt? und in was genau?
Ich hab ein kleineres Ergebnis!
Du hast ja auch nur [mm] T_2, [/mm] und bei [mm] \p/2 [/mm] bist du doch schon weit vom entwicklungspunkt weg.
Lass dir mal h(x) und [mm] T_2(x) [/mm] plotten, dann siehst du, dass die Kurven bis ca [mm] x=\pm [/mm] 0.6 sehr gut uebereinstimmen, und dann immer weiter auseinanderlaufen.
Denk dran, das ist ja nur eine Abschaetzung des maximal moeglichen Fehlers.
wegen h'''(0)=0 ist [mm] T_3=T_2 [/mm] und du koenntest deshalb auch mit [mm] R_3 [/mm] abschaetzen.
(Der Fehler ist in Wirklichkeit nur etwa halb so gross, wie der geschaetzte, wenn du ihn im Plot nachmisst.)
Wozu hast du uebrigens die Nullstelle von [mm] T_2 [/mm] ausgerechnet?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Christopf |
ich habe die Nustellen berechnet um die Funktion in ein Koordinatensystem zeichnen kann
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Hallo leduart
Ich habe für diese Funktion den Restgliedwert von 0,645..
Und du hast ja auch was von 0,6 geschrieben.
Laut angela ihrer Rechnung komme ich auf ein Wert 3,87578.
Da hört mein Verständnis auf. Für mich ist der errechnete Betrag viel zu hoch und mein errechneter Betrag kommt deinen näher. Und dieser deckt sich auch mit einem Beispiel meines Lehrer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mi 18.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Angela hat dir das richtige Restgl angegeben, du hast es offensichtlich falsch ausgerechnet.
woher kommt jetzt das 0.645?
Mach es uns doch nicht so schwer, indem du irgendwelche Zahlen hinschreibst ohne den Weg dahin zu zeigen.
Also bitte schreib auf, woher genau du die 2 Zahlen hast:
1/ Formel allgemein, dann deine eingsetzten Zahlen , dann dein Endergebnis.
Gruss leduart
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hallo leduart
Das ist m,eine Berrechnung zu meiner Fehlerberrechnung
$ [mm] \bruch{x^{3}}{3!}\le \bruch{(\bruch{\pi}{2})^{3}}{3!}=0645964{3!}=0,645964 [/mm] $
Mein Wert deckt sich mit deien
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> hallo leduart
>
> Das ist m,eine Berrechnung zu meiner Fehlerberrechnung
>
> [mm]\bruch{x^{3}}{3!}\le \bruch{(\bruch{\pi}{2})^{3}}{3!}=0645964{3!}=0,645964[/mm]
Hallo,
zweierlei:
wo hast Du denn den Faktor 2 gelassen?
>
> Mein Wert deckt sich mit deien
Ich habe beim besten Willen nicht entdecken können, daß leduart eine Zahl für den Fehler genannt hat.
Gruß v. Angela
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Hallo
Rechne mir bitte das mal vor. Leduart sagte was von 0,6
Danke
Ich bin am verzweifeln
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mi 18.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Cristopf
Bitte lies posts deutlicher!
a) kommt mit der richtigen Formel von angela nicht 3,...
raus.
b) habe ich gesagt, dass man den wirklichen Fehler von ca 0,6 aus den plots der 2 Funktionen ablesen kann.
Wenn man aber die eigentliche fkt nicht plotten koennte, kann man auch den Fehler nur abschaetzen, und dafuer ist das Restglied da. Da es den maximalen Fehler angibt, der meist nicht erreicht wird,kannstdu nicht erwarten, dass du in etwa den wirklichen Fehler kriegst. wenn man den kennen wuerde koennte man die fkt ja direkt durch das polynom angeben.
Ich hatte dir das mit dem "wirklichen Fehler nur gesagt, damit du siehst, dass die Fehlerabschaetzung nur etwa das doppelte ergibt.
Ausserdem hab ich dir nen Hinweis gegeben, warum hier die Fehlerabschaetzun zu unguenstige werte liefert. Aber du gehst zu wenig auf posts ein. Ich schreib mir hier die Finger wund. du hast meine Bitte: wie kommst du auf die 3,.. anscheinend nicht mal gehoert!
Gruss leduart
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hallo
Ich habe [mm] (\bruch{\pi}{2})^{3} [/mm] gerechnet und das ergibt 3,87578
Entschuldige das ich dein schreiben falsch interprettiert habe.Dein Tip die 2 Funktionen zu plotten war eine gute Idee.
Weil ich das Gefühl habe und der Meinung war das der Wert 0,64 u.s.w der richtige ist habe ich deine [mm] \pm [/mm] 06 als Mein Wert dwargenommen.
Nochmals Entschuldigung.
Jetzt habe ich alles hingeschrieben wie ich auf die 2 Werte komme.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Mi 18.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dann lies noch mal die alten posts! Nirgends hat angela geschrieben, dass [mm] (\pi/2)^3 [/mm] das Fehlerglied ist.
jetzt lies wirklich und rechne die Abschaetzung fur [mm] R_2 [/mm] aus. an der Stelle [mm] \pi/2 [/mm] oder fuer ein beliebiges x innerhalb des intervalls.
Warum sollte dich der Fehler nur genau bei [mm] \pi/2 [/mm] interessieren?
Wahr ist, dass er da am groessten im gegebenen Intervall ist.
Wenn du also den maximalfehler im intervall angeben musst dann nimm angelas Vorschlag.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Mi 18.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du dem maximalen Fehler von [mm] T_2 [/mm] in [mm] [0,\pi/2] [/mm] abschaetzen willst kannst du nichts besseres mache, als das unguenstigste [mm] \xi [/mm] einsetzen, also [mm] \pi/2. [/mm] fuer den Fehler an der Stelle [mm] x1\in [0,\pi/2] [/mm] setzt du x1 fuer [mm] \xi [/mm] ein.
Ohne genauere Aufgabe, kann man nicht mehr sagen.
Die meisten Aufgaben geben eine Stelle x1 an, an der man f(x1) durch T(x1) annaehern soll. dann muss man eben den Maximalwert von f''' zwischen der entwicklungsstelle und x1 nehmen.
Das richtige Restglied hat dir ja angela aufgeschrieben.
Gruss leduart
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$ [mm] R_{2}(x) [/mm] = [mm] \frac{f^{(3)}(\xi)}{(3)!}x^3= \frac{2sin(\xi)}{(3)!}x^3\le \frac{2}{(3)!}x^3. [/mm] $
[mm] =\frac{2sin(\xi)}{(3)!}x^3 \le \frac{2}{(3)!}(\bruch{\pi}{2})^3
[/mm]
[mm] =\frac{2sin(\xi)}{(3)!}x^3 \le [/mm] 1,2919
Ist das jetzt richtig gerechnet.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Mi 18.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, endlich! Du must wirklich, wenn du von uns was lernen willst dich auch mal hinsetzen und 5 bis 10 min. oder laenger ueber einem post gruebeln. erst dann was damit anfangen und immer auf die posts bezogene Fragen stellen. dann sparst du uns und dir viel Zeit.
Lies diese lange Zeug nochmal in Ruhe durch, und stell fest, ab wann du eigentlich alles schon gesagt gekriegt hast, was jetzt endlich das Ergebnis gebracht hat.
Entsprechend sollte man mit Vorlesungen umgehen: Bald nach einer Vorlesung sie in mindestens der gleichen Zeit, die die Vorlesung dauerte noch mal sorgfaeltig durchgehen. Notfalls Fragen anmerken, was unklar geblieben ist. die in Tutorenstd. unbedingt klaeren. Dann steht man vor Klausuren und Pruefungen ganz gut da!
gruss leduart
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