Bestimmen von Extremwerten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Extrema der folgenden Funktion unter den angegebenen Nebenbedingungen.
[mm] u=3x^{2}+4xy+3y^{2}
[/mm]
[mm] x^{2}+y^{2}=1 [/mm] |
Hallo
Ich hab das mit Lagrange gelöst un zwar
[mm] \vektor{6x+4y \\ 4x+6y}+\lambda*\vektor{2x\\ 2y}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] x^{2}+y^{2}-1=0
[/mm]
also mögliche Extremwerte kommen in Frage
[mm] P_{1}=(\wurzel{\bruch{1}{2}}\backslash\wurzel{\bruch{1}{2}}\backslash5)
[/mm]
[mm] P_{2}=(-\wurzel{\bruch{1}{2}}\backslash\wurzel{\bruch{1}{2}}\backslash1)
[/mm]
[mm] P_{3}=(\wurzel{\bruch{1}{2}}\backslash-\wurzel{\bruch{1}{2}}\backslash1)
[/mm]
[mm] P_{4}=(-\wurzel{\bruch{1}{2}}\backslash-\wurzel{\bruch{1}{2}}\backslash5)
[/mm]
Mein Problem liegt jetzt darin das Ganze richtig zu interpretieren also nach den Funktionswerten sind [mm] P_{1,4} [/mm] Maxima und [mm] P_{2,3} [/mm] Mininma stimmt das so ???????
Wenn ich das ganze mit Elimination rechne also z.B y ausdrücken und dann in die andere Gleichung einsetzten, das ich nur mehr eine Funktion in einer Veränderlichen hab und die dann differenziere.Und das gleiche dann für x...
Nehm ich jetzt wenn ich [mm] f_{xx}*f{yy}-f{xy}^{2}= [/mm] berechene die Funktion in der nur x vorkommen 2mal differenziert für [mm] f_{xx} [/mm] oder das u(x,y) 2mal differenziert???
Danke
lg Stevo
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 15:57 Do 14.09.2006 | | Autor: | grek40 |
Hi.
Deinen ersten Ansatz kenn ich grad garnich, aber ich geh jetzt mal vom 2. Ansatz aus.
> Wenn ich das ganze mit Elimination rechne also z.B y
> ausdrücken und dann in die andere Gleichung einsetzten, das
> ich nur mehr eine Funktion in einer Veränderlichen hab und
> die dann differenziere.Und das gleiche dann für x...
> Nehm ich jetzt wenn ich [mm]f_{xx}*f{yy}-f{xy}^{2}=[/mm]
> berechene die Funktion in der nur x vorkommen 2mal
> differenziert für [mm]f_{xx}[/mm] oder das u(x,y) 2mal
> differenziert???
Als erstes mal die Nebenbedingung nach x oder y umstellen.
[mm] x^{2}+y^{2} = 1 [/mm]
[mm] y = \wurzel{1 - x^{2}}[/mm]
Das jetzt in die Ausgangsgleichung einsetzen:
[mm] u(x) = 3x^{2}+4x*\wurzel{1 - x^{2}}+3*(1 - x^{2}) [/mm]
2 mal Ableiten:
[mm] u'(x) = 6x + 4*\wurzel{1 - x^{2}} + 4x*\bruch{-2x}{2*\wurzel{1- x^{2}}} - 6x [/mm]
[mm] u''(x) = - \bruch{4x}{\wurzel{1-x^{2}}} - \bruch{8x*\wurzel{1-x^{2}} + \bruch{4x^{3}}{\wurzel{1-x^{2}}}}{1-x^{2}} [/mm]
Die erste Ableitung 0 setzen um Extremstellen zu ermitteln:
[mm] 0 = 4*\wurzel{1 - x^{2}} + 4x*\bruch{-2x}{2*\wurzel{1- x^{2}}} [/mm]
[mm] 0 = 4 - 8x^{2} [/mm]
[mm] x_{1,2} = \pm \wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm]
Die Ergebnisse in die 2. Ableitung einsetzen:
[mm] u''(\wurzel{\bruch{1}{2}}) < 0 \Rightarrow Max [/mm]
[mm] u''(-\wurzel{\bruch{1}{2}}) > 0 \Rightarrow Min [/mm]
Diese x-Werte muss man dann noch in die Ausgangsgleichung einsetzen, um y zu ermitteln (mach ich jetzt nicht extra)
Ergebnisse zusammengefasst:
Minimum bei [mm] P_{1} = ( -\wurzel{\bruch{1}{2}} ; 1 ) [/mm]
Maximum bei [mm] P_{2} = ( \wurzel{\bruch{1}{2}} ; 5 ) [/mm]
Was du sonst noch an Ergebnissen hast ist soweit ich weiß falsch.
|
|
|
| |
|
Hallo
Wenn du die erste Gleichung nach x umstellst und dann durchrechnest bekommst du noch die beiden anderen Lösungen wenn ich mich nicht irre.
Also müsste das schon so stimmen
Kann sich das bitte nochmal jemand anschauen
Danke
lg Stevo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Fr 15.09.2006 | | Autor: | grek40 |
Wenn du nach x statt nach y umstellst und dann einsetzt erhältst du genau die gleichen Ergebnisse. Das kann man schon daran sehen, dass man sowohl in der Hauptgleichung als auch in der Nebenbedingung x und y vertauschen kannst, ohne dass sich die Gleichung ändert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Fr 15.09.2006 | | Autor: | grek40 |
Hab die Antwort ausversehen in den falschen Diskussionszweig geschoben [mm] O_o
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo
wenn du das x in die NB einsetzt kommt ja für y auch [mm] \pm \wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] also sind die Punkte alle Kombination also [mm] 2^{2} [/mm] Möglichkeiten gleich 4 Extremstellen
lg Stevo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Fr 15.09.2006 | | Autor: | grek40 |
Hast du das schonmal bis zu Ende gerechnet mit umstellen nach x? m.M. nach (ohne nochmal nachzurechnen) kommen zwar wieder 2 Ergebnisse, diese sind aber exakt gleich wie die Ergebnisse wenn man nach y umstellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 17.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
