Bestimmen von Primidealen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 So 16.01.2011 | | Autor: | dio |
| Aufgabe | Gegeben sei der Ring [mm] 3\IZ [/mm] = [mm] (3\IZ,+,*) [/mm] mit [mm] 3\IZ [/mm] = [mm] \{3z | z \in \IZ \}
[/mm]
(a) Bestimmen sie alle "unzerlegbaren" Elemente von [mm] 3\IZ. [/mm] Gemeint sind dabei alle Elemente, die nicht als Prodkt von zwei Elementen aus [mm] 3\IZ [/mm] dargestellt werden können.
(b) Geben Sie in Element aus [mm] 3\IZ [/mm] an, das zwei wesentlich versch. Zerlegungen als Produkt von zerlegbaren Elementen besitzt.
(c) Bestimmen Sie alle Primideale von [mm] 3\IZ. [/mm] |
Hallo ihr fleißigen Helferlein :)
Leider bereitet mir/uns etwas Schwierigkeiten.
Es geht eigentlich nur um (c), wollte aber den Rest nicht verschweigen, weil er uns vielleicht bei (c) weiterhelfen kann und wir es bloß nicht sehen ;)
Wir haben schon einige Ansätze durchdiskutiert, doch bisher hat uns leider keiner zur Lösung geführt.
Zunächst alle Ideale zu bestimmen, wäre ja wohl recht unsinnig bzw unmöglich. Liegen wir hiermit richtig?
Weiterhin hatten wir an den 1. Isomorphiesatz gedacht, jedoch kamen wir mit diesem Ansatz auch nicht weiter.
Ich hoffe sehr, dass uns vielleicht jemand einen Schubs in die richtige Richtung geben kann.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Website gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 So 16.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gegeben sei der Ring [mm]3\IZ[/mm] = [mm](3\IZ,+,*)[/mm] mit [mm]3\IZ[/mm] = [mm]\{3z | z \in \IZ \}[/mm]
>
> (a) Bestimmen sie alle "unzerlegbaren" Elemente von [mm]3\IZ.[/mm]
> Gemeint sind dabei alle Elemente, die nicht als Prodkt von
> zwei Elementen aus [mm]3\IZ[/mm] dargestellt werden können.
>
> (b) Geben Sie in Element aus [mm]3\IZ[/mm] an, das zwei wesentlich
> versch. Zerlegungen als Produkt von zerlegbaren Elementen
> besitzt.
>
> (c) Bestimmen Sie alle Primideale von [mm]3\IZ.[/mm]
> Hallo ihr fleißigen Helferlein :)
>
> Leider bereitet mir/uns etwas Schwierigkeiten.
>
> Es geht eigentlich nur um (c), wollte aber den Rest nicht
> verschweigen, weil er uns vielleicht bei (c) weiterhelfen
> kann und wir es bloß nicht sehen ;)
>
> Wir haben schon einige Ansätze durchdiskutiert, doch
> bisher hat uns leider keiner zur Lösung geführt.
>
> Zunächst alle Ideale zu bestimmen, wäre ja wohl recht
> unsinnig bzw unmöglich. Liegen wir hiermit richtig?
Nein: alle Ideale in [mm] $3\IZ$ [/mm] zu bestimmen ist gar nicht so schwer. Beachtet, dass [mm] $(3\IZ, [/mm] +)$ eine zyklische Gruppe ist, erzeugt vom Element 3. Damit sind alle Untergruppen ebenfalls zyklisch, und zu jeder Untergruppe $U$ gibt es genau ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] (inklusive 0) mit $U = [mm] \langle [/mm] 3 n [mm] \rangle$.
[/mm]
Jetzt ist die Frage: welche dieser Untergruppen sind Ideale? Das ist nicht so schwer, dazu kann man sich ja eine konkrete Untergruppe $U = [mm] \langle [/mm] 3 n [mm] \rangle [/mm] = [mm] \{ 3 n z \mid z \in \IZ \}$ [/mm] hernehmen.
Damit kannst du schnell Bedingungen an $n$ finden, damit $U$ ein Ideal in $3 [mm] \IZ$ [/mm] ist.
Und schliesslich kannst du genauso vorgehen, um zu bestimmen, fuer welches solche $n$ das Ideal [mm] $U_n [/mm] = [mm] \langle [/mm] 3 n [mm] \rangle$ [/mm] ein Primideal ist.
(Fuer $n = 0$ ist es sicher der Fall  )
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:59 So 16.01.2011 | | Autor: | dio |
Ersteinmal vielen Dank für die zügige und hilfreiche Antwort - das ist der Wahnsinn! ;)
Nun unsere bisherigen Gedankengänge dazu:
Die UG sehen ja (mal ganz blöd hingeschrieben ;) ) wie folgt aus: [mm] 3\IZ, 6\IZ, 9\IZ, 12\IZ [/mm] usw.
eine nichtleere Teilmenge I eines Rings R ist ja per Definition ein Ideal, wenn folgendes gilt:
(1) Sind x,y [mm] \in [/mm] I, so ist x-y [mm] \in [/mm] I
(2) Ist x [mm] \in [/mm] I und a [mm] \in [/mm] R, so ist a*x, x*a [mm] \in [/mm] I
Die erste Eigenschaft dürfte unserer Meinung nach immer erfüllt sein, da ja gilt:
[mm] 3nz_{1} [/mm] - [mm] 3nz_{2} [/mm] = [mm] 3n(z_{1} [/mm] - [mm] z_{2}) \in 3n\IZ
[/mm]
Richtig?
Die zweite Eigenschaft dürfte auch für alle UG erfüllt sein, denn ein Vielfaches einer Zahl ist wieder Element der UG (Abgeschlossenheit).
So. Jetzt hatten wir in der Vorlesung folgenden Satz bewiesen: "Jedes Ideal von [mm] (\IZ, [/mm] +,*) ist Hauptideal.
Der Beweis geht (unserer Meinung nach) analog für [mm] 3\IZ
[/mm]
Weiterhin haben wir einen weiteren Satz (zwar wieder für [mm] \IZ, [/mm] wäre aber wahrscheinlich auch übertragbar):
Das Hauptideal (m) is genau dann ein Primideal, wenn m eine Primzahl ist oder wenn m [mm] \in [/mm] {0,1}
So - damit hätten wir ja unser Ergebnis (wenn es denn richtig ist ;) )
EDIT: Hätte das Ergebnis wohl dazu schreiben sollen. Primideale wären es nach diesem Satz nur für n = 0 und n = 3 (denn alle anderen sind ja keine Primzahlen bzw = 1)
Wenn es aber richtig sein sollte, glaube ich nicht, dass dieser Weg der gewünschte ist - mit dem Übertragen der Beweise wäre das ja ziemlich lang.
Wo ist unser Fehler? Wie geht es kürzer?
Erneut vielen lieben Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Mo 17.01.2011 | | Autor: | dio |
Okay, leider hatten wir gestern einen Denkfehler und müssen damit unser Vorgehen wieder verwerfen..
Denn Hauptideale sind ja nur für kommu. Ringe mit 1 definiert - eine 1 haben wir hier jedoch nicht..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Mi 19.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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