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Forum "Integralrechnung" - Bestimmtes Integral Cosinus
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Bestimmtes Integral Cosinus: Frage Aufgabe Integral
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:13 Do 21.11.2013
Autor: marieska2012

Aufgabe
[mm] \integral_{0}^{1}{(a*cos (2\pi t))^2 dt} [/mm]


Hallo,

ich habe einige Probleme beim Lösen dieser Aufgabe.
Ich weiß, dass ich die Substitution anwenden muss....

Hier mein Ansatz:

[mm] \integral_{0}^{1}{(a*cos (2\pi t))^2 dt} [/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{a^2 * (cos (2\pi t)^2) dt} [/mm]
= [mm] a^2 \integral_{0}^{1}{(cos (2\pi t))^2dt} [/mm]

Als nächstes müsste ich doch das Quadrat bei Cosinus wegbekommen und dann für [mm] 4\pi [/mm] t  die Substitution anwenden oder?
Allerdings weiß ich nicht, wie ich jetzt vorgehen muss..

Bin über jede Hilfe dankbar!

        
Bezug
Bestimmtes Integral Cosinus: partielle Integration
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 Do 21.11.2013
Autor: Loddar

Hallo marieska!


Für [mm] $\left[\cos(2\pi*t)\right]^2 [/mm] \ = \ [mm] \cos(2\pi*t)*\cos(2\pi*t)$ [/mm] kannst Du auch die partielle Integration anwenden.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Bestimmtes Integral Cosinus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Do 21.11.2013
Autor: marieska2012

Welches wäre denn die bessere Variante?
Und könntest du mir die Substitution vielleicht erläutern, bzw. wie ich das Quadrat bei Cosinus wegbekomme?
Kann ich das umschreiben?

Bezug
                        
Bezug
Bestimmtes Integral Cosinus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Do 21.11.2013
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Welches wäre denn die bessere Variante?

Ich würde partielle Integration machen.


> Und könntest du mir die Substitution vielleicht
> erläutern, bzw. wie ich das Quadrat bei Cosinus
> wegbekomme?

Eine direkte Substitution sehe ich auf die Schnelle nicht.

Du könntest aber die Additionstheoreme und den trigonometr. Pythagoras bemühen, um das Quadrat wegzubekommen.

Schaue mal nach, wie du [mm] $\cos(4\pi t)=\cos(2\pi t+2\pi [/mm] t)$ schreiben kannst ...

> Kann ich das umschreiben?

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Bestimmtes Integral Cosinus: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:17 Do 21.11.2013
Autor: marieska2012

Ich komme irgendwie absolut nicht weiter...
Die Aufgabe ist keine Hausaufgabe oder ähnliches, lediglich eine Übungsaufgabe...

Habe auch die Lösung aber mir fehlen einfach die Zwischenschritte:

[mm] a^2 \integral_{0}^{1}{cos^2(2\pi t) dt} [/mm] = [mm] a^2 \bruch{1}{2\pi} [\bruch{2\pit}{2}+\bruch{sin(2\pi t)}{4}]^1 [/mm] 0 (sollen die 1 und die 0 an der Klammer sein, weiß nich wie das geht)
= [mm] \bruch{a^2}{2\pi} [\bruch{2\pi}{2}+0-0] =\bruch{a^2}{2} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Bestimmtes Integral Cosinus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Do 21.11.2013
Autor: angela.h.b.

Hallo,

Du hattest doch schon den Tipp mit der partiellen Integration bekommen.
Wie hast Du diesen umgesetzt?

Du könntest ja auch erstmal versuchen, [mm] \integral [/mm] cos(t) dt zu berechnen, damit es nicht gleich durch die Vorfaktoren unübersichtlich wird.

LG Angela

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