www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integration" - Bestimmtes Integral berechnen
Bestimmtes Integral berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Bestimmtes Integral berechnen: Integral divergiert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:46 Sa 27.01.2018
Autor: Pacapear

Hallo zusammen!

Ich soll folgendes Integral berechnen:

[mm] \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx [/mm]

Als Stammfunktion habe ich [mm] -\frac{1}{x}, [/mm] was laut meinem Taschenrechner auch richtig ist.

Wenn ich jetzt die Grenzen einsetze, erhalte ich [mm] (-\frac{1}{1})-(-\frac{1}{-1})=-2. [/mm]

Allerdings sagt mein Taschenrechner hier, dass das Integral divergieren würde.

Wenn ich allerdings nur die Rechnung eingebe, kommt auch -2 raus [haee]

Wo ist denn hier mein Fehler?

Danke schonmal.

VG Nadine

        
Bezug
Bestimmtes Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:10 Sa 27.01.2018
Autor: Gonozal_IX

Hallo Nadine,

dein Integrand hat eine Polstelle im Integrationsgebiet, damit handelt es sich hier formal um ein uneigentliches Riemann-Integral. Du musst das Integral also an der fraglichen Stelle in zwei einzelne Integrale aufsplitten und diese berechnen. Nur wenn beide Einzelintegrale konvergieren, tut es das gesamte auch.

Wie sind die Werte der einzelnen Integrale?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Bestimmtes Integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Sa 03.02.2018
Autor: Pacapear

Hallo Gono!



> Wie sind die Werte der einzelnen Integrale?



Also ich habe dann:

[mm] $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}dx [/mm] = [mm] \int_{-1}^{0} \frac{1}{x^2}dx [/mm] + [mm] \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2}dx$ [/mm]

Das erste Integral ist dann:

[mm] $\int_{-1}^{0} \frac{1}{x^2}dx [/mm] = [mm] \lim_{z \to 0} \int_{-1}^{z} \frac{1}{x^2}dx [/mm] = [mm] \lim_{z \to 0} [-\frac{1}{x}]_{-1}^{z} [/mm] = [mm] \lim_{z \to 0} [-\frac{1}{z}+1] [/mm] = [mm] \infty$ [/mm]

Das zweite Integral ist dann:

[mm] $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2}dx [/mm] = [mm] \lim_{z \to 0} \int_{z}^{1} \frac{1}{x^2}dx [/mm] = [mm] \lim_{z \to 0} [-\frac{1}{x}]_{z}^{1} [/mm] = [mm] \lim_{z \to 0} [-1+\frac{1}{z}] [/mm] = [mm] \infty$ [/mm]



Ist das so richtig?

Und damit ist das Integral divergent?



VG Nadine

Bezug
                        
Bezug
Bestimmtes Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Sa 03.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

deine Rechnungen sind korrekt. Und natürlich ist ein Integral mit einem der beiden unbestimmten Grenzwerte [mm] \{-\infty,\infty\} [/mm] divergent.

Je nachdem, in welchem Zusammenhang diese Aufgabe gestellt wurde, würde ich bei den Grenzwerten noch auf eine der üblichen Arten dazuschreiben, aus welcher Richtung z gegen Null strebt(auch wenn das aus dem Kontext heraus natürlich klar ist).


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Bestimmtes Integral berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:36 Sa 03.02.2018
Autor: Pacapear


> Hallo,
>  
> deine Rechnungen sind korrekt. Und natürlich ist ein
> Integral mit einem der beiden unbestimmten Grenzwerte
> [mm]\{-\infty,\infty\}[/mm] divergent.

Danke :-)


Bezug
        
Bezug
Bestimmtes Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 Sa 27.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo zusammen!

>

> Ich soll folgendes Integral berechnen:

>

> [mm]\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx[/mm]

>

Man sieht hier mal wieder schön, warum es wichtig ist, Aufgabentexte im Originalwortlaut anzugeben. Wer hat dir gesagt, dass du 'das Integral berechnen sollst'? Niemand vermutlich, die Aufgabensstellng lautet sicherlich irgendwie anders.

Betrachten wir für 0<z<1 das Integral

[mm] \int_{z}^{1}{ \frac{dx}{x^2}}=- \frac{1}{x}\bigg|_z^1=\frac{1}{z}-1[/mm]

Der Grenzwert dieses Integrals für z->0 ist

[mm] \lim_{z\overset{+}\rightarrow{0}} \int_{z}^{1}{ \frac{dx}{x^2}}= \lim_{z\overset{+}\rightarrow{0}}\left(\frac{1}{z}-1\right)=\infty[/mm]


Also ist die rechte Seite des Integrals divergent und wegen der Achsensymmetrie des Integranden das gesamte Integral. Die Anweisung, man 'solle' dieses Integral berechnen, ist also sinnlos.

> Als Stammfunktion habe ich [mm]-\frac{1}{x},[/mm] was laut meinem
> Taschenrechner auch richtig ist.

Dazu sollte man keinen Taschenrechner benötigen!

> Wenn ich jetzt die Grenzen einsetze, erhalte ich
> [mm](-\frac{1}{1})-(-\frac{1}{-1})=-2.[/mm]

>

Das wurde schon gesagt, aber noch nicht von jedem. ;-) Was du hier machst, ist nicht erlaubt: du integrierst über einem Intervall, das Definitionslücken des Integranden enthält.

> Allerdings sagt mein Taschenrechner hier, dass das Integral
> divergieren würde.

>

> Wenn ich allerdings nur die Rechnung eingebe, kommt auch -2
> raus [haee]

>

> Wo ist denn hier mein Fehler?

Da hast du noch ziemliche Lücken im Verständnis des Konzepts der Integration!


Gruß, Diophant

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 5m 2. Al-Chwarizmi
MSons/Abschätzung Kreisfunktionen
Status vor 3h 37m 4. tobit09
UTopoGeo/indirekter Beweis
Status vor 4h 35m 3. Takota
UAnaRn/Hinreich. Potentialkriterium
Status vor 6h 18m 6. donp
SStochWkeit/Wahrscheinlichkeiten
Status vor 20h 32m 8. fred97
ULinAEw/Eigenwerte einer Matrix
^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de