Bestimmung Ausdruck n=n(ε) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Fr 03.01.2014 | | Autor: | jayw |
| Aufgabe | Bestimmen Sie einen Ausdruck für n=n(ε), so dass für alle k [mm] \ge [/mm] n(ε) gilt:
[mm] \begin{vmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{1-1/k}}-1
\end{vmatrix} \le [/mm] ε . |
Hallo mal wieder.
Mehr als das die Folge [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-1/k}} [/mm] gegen 1 konvergiert, kann ich hier leider nicht herauslesen. Ich scheitere schon beim nächsten Schritt die Ungleichung ggf. zu vereinfachen...
Ich bitte um einen Tipp, ggf. auch zum Verfahren der Epsilon-Umgebung, glaube nämlich ich habe das noch nicht richtig verstanden.
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Fr 03.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Bestimmen Sie einen Ausdruck für n=n(ε), so dass für
> alle k [mm]\ge[/mm] n(ε) gilt:
> [mm]\begin{vmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{1-1/k}}-1
\end{vmatrix} \le[/mm] ε .
>
> Hallo mal wieder.
>
> Mehr als das die Folge [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-1/k}}[/mm] gegen 1
> konvergiert, kann ich hier leider nicht herauslesen. Ich
> scheitere schon beim nächsten Schritt die Ungleichung ggf.
> zu vereinfachen...
> Ich bitte um einen Tipp, ggf. auch zum Verfahren der
> Epsilon-Umgebung, glaube nämlich ich habe das noch nicht
> richtig verstanden.
> Danke im Voraus
>
Du darfst nach oben abschätzen, etwa so:
[mm] |\bruch{1}{\wurzel{1-1/k}}-1|<\ldots<\ldots<\epsilon
[/mm]
Probiere selbst ein wenig aus, zum Beispiel:
- Gleicher Nenner
- Benutze [mm] 1=\frac{\wurzel{1+1/k}}{\wurzel{1+1/k}}
[/mm]
- Binomische Formel
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Fr 03.01.2014 | | Autor: | jayw |
[mm] \begin{vmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{1-1/k}}-1
\end{vmatrix} \le \epsilon
[/mm]
= [mm] \begin{vmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{1-1/k}}-\frac{\wurzel{1+1/k}}{\wurzel{1+1/k}}
\end{vmatrix} \le \epsilon
[/mm]
= [mm] \begin{vmatrix}
\bruch{\wurzel{1+1/k}}{\wurzel{1-1/k^2}}
\end{vmatrix} \le \epsilon
[/mm]
= [mm] \bruch{1+1/k}{1-1/k^2} \le \epsilon^2
[/mm]
Ist das soweit richtig/sinnvoll? Ich habe irgendwie nicht verstanden wohin das überhaupt führen soll, bzw. was das bringt :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Fr 03.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> [mm]\begin{vmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{1-1/k}}-1
\end{vmatrix} \le \epsilon[/mm]
>
> = [mm]\begin{vmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{1-1/k}}-\frac{\wurzel{1+1/k}}{\wurzel{1+1/k}}
\end{vmatrix} \le \epsilon[/mm]
>
> = [mm]\begin{vmatrix}
\bruch{\wurzel{1+1/k}}{\wurzel{1-1/k^2}}
\end{vmatrix} \le \epsilon[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1+1/k}{1-1/k^2} \le \epsilon^2[/mm]
>
Hier sind sehr viele elementare Fehler drin.
1. Die Gleichheitszeichen machen keinen Sinn.
2. [mm] \frac{a}{c}+\frac{b}{c}\not=\frac{a+b}{c^2}, [/mm] der Nenner bleibt bei $c$.
3. [mm] \sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{a*b}
[/mm]
[mm] \ldots
[/mm]
> Ist das soweit richtig/sinnvoll? Ich habe irgendwie nicht
> verstanden wohin das überhaupt führen soll, bzw. was das
> bringt :(
Lies mal Al's Antwort!
Am Besten du machst dir die [mm] \epsilon-Konvergenz [/mm] durch [mm] a_n:=\frac{1}{n} [/mm] klar, probiere es mal aus!
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Fr 03.01.2014 | | Autor: | jayw |
> > [mm]\begin{vmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{1-1/k}}-1
\end{vmatrix} \le \epsilon[/mm]
>
> >
> > = [mm]\begin{vmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{1-1/k}}-\frac{\wurzel{1+1/k}}{\wurzel{1+1/k}}
\end{vmatrix} \le \epsilon[/mm]
>
> >
> > = [mm]\begin{vmatrix}
\bruch{\wurzel{1+1/k}}{\wurzel{1-1/k^2}}
\end{vmatrix} \le \epsilon[/mm]
>
> >
> > = [mm]\bruch{1+1/k}{1-1/k^2} \le \epsilon^2[/mm]
> >
>
> Hier sind sehr viele elementare Fehler drin.
>
> 1. Die Gleichheitszeichen machen keinen Sinn.
Okay, es müssten Äquivalenzzeichen sein?
> 2. [mm]\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\not=\frac{a+b}{c^2},[/mm] der Nenner
> bleibt bei [mm]c[/mm].
Verstehe ich nicht, wo habe ich denn den Fehler gemacht?
> 3. [mm]\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{a*b}[/mm]
Das habe ich doch angewendet, mit der 3. binomischen Formel zusammen kommt dann der Nenner heraus, wenn ich mich nicht täusche?
Allerdings habe ich die Hälfte im Zähler vergessen... Danke erstmal, ich lese mal Al's Beitrag :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Fr 03.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > > [mm]\begin{vmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{1-1/k}}-1
\end{vmatrix} \le \epsilon[/mm]
>
> >
> > >
> > > = [mm]\begin{vmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{1-1/k}}-\frac{\wurzel{1+1/k}}{\wurzel{1+1/k}}
\end{vmatrix} \le \epsilon[/mm]
>
> >
> > >
> > > = [mm]\begin{vmatrix}
\bruch{\wurzel{1+1/k}}{\wurzel{1-1/k^2}}
\end{vmatrix} \le \epsilon[/mm]
>
> >
> > >
> > > = [mm]\bruch{1+1/k}{1-1/k^2} \le \epsilon^2[/mm]
> > >
> >
> > Hier sind sehr viele elementare Fehler drin.
> >
> > 1. Die Gleichheitszeichen machen keinen Sinn.
> Okay, es müssten Äquivalenzzeichen sein?
Für dein Schmierblatt? [mm] \Rightarrow [/mm] reicht.
Für deinen Beweis? Nein.
> > 2. [mm]\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\not=\frac{a+b}{c^2},[/mm] der
> Nenner
> > bleibt bei [mm]c[/mm].
> Verstehe ich nicht, wo habe ich denn den Fehler gemacht?
> > 3. [mm]\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{a*b}[/mm]
>
> Das habe ich doch angewendet, mit der 3. binomischen Formel
> zusammen kommt dann der Nenner heraus, wenn ich mich nicht
> täusche?
Wenn du den gemeinsamen Nenner hast, dann bleibt dieser gleich, wenn du die Brüche addierst.
[mm] \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}
[/mm]
Im Nenner tritt (erstmal) keine binomische Formel auf.
>
> Allerdings habe ich die Hälfte im Zähler vergessen...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Danke erstmal, ich lese mal Al's Beitrag :)
>
Gruß
DieAcht
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> Bestimmen Sie einen Ausdruck für n=n(ε), so dass für
> alle k [mm]\ge[/mm] n(ε) gilt:
> [mm]\begin{vmatrix}
\bruch{1}{\wurzel{1-1/k}}-1
\end{vmatrix} \le[/mm] ε .
>
> Hallo mal wieder.
>
> Mehr als das die Folge [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-1/k}}[/mm] gegen 1
> konvergiert, kann ich hier leider nicht herauslesen. Ich
> scheitere schon beim nächsten Schritt die Ungleichung ggf.
> zu vereinfachen...
> Ich bitte um einen Tipp, ggf. auch zum Verfahren der
> Epsilon-Umgebung, glaube nämlich ich habe das noch nicht
> richtig verstanden.
> Danke im Voraus
Hallo jayw,
eigentlich kann man die Aufgabe als gutes Beispiel
benützen, um elementare Umformungen bei Unglei-
chungen zu üben. Dabei kann es nützlich sein,
unterwegs geeignete Abkürzungen einzuführen,
um sich Schreibarbeit zu ersparen und die Über-
sichtlichkeit zu erhöhen. So habe ich zum Beispiel
gleich [mm] w:=\sqrt{1-1/k} [/mm] gesetzt. Da wir [mm] k\in\IN^{\ast}
[/mm]
und somit k>0 voraussetzen dürfen, ist 0<w<1 .
Einfache Überlegungen zeigen, dass man dann
auf die Absolutstriche in der Ungleichung verzichten
kann. Natürlich muss man das begründen.
Die entstandene Ungleichung habe ich dann in
ein paar Schritten umgeformt zu:
$\ w\ [mm] \ge\ \frac{1}{1+\varepsilon}$
[/mm]
Diese Ungl. kann man quadrieren und dann wieder
in eine Ungleichung für k umsetzen. Dabei habe
ich eine weitere Abkürzung benützt. Aufpassen
muss man insbesondere darauf, bei welchen
Umformungen bei einer Ungleichung aus einem
[mm] \ge [/mm] ein [mm] \le [/mm] wird oder umgekehrt.
Zur Kontrolle ein Rechenbeispiel:
Zu [mm] $\varepsilon\ [/mm] =\ 0.001$ bekomme ich als kleinst-
möglichen ganzzahligen Wert für n 501 .
Dabei wurde nun keinerlei "Abschätzung"
verwendet, was durchaus auch erlaubt und
oft sinnvoll wäre.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Sa 04.01.2014 | | Autor: | jayw |
[...]
> Die entstandene Ungleichung habe ich dann in
> ein paar Schritten umgeformt zu:
>
> [mm]\ w\ \ge\ \frac{1}{1+\varepsilon}[/mm]
>
> Diese Ungl. kann man quadrieren und dann wieder
> in eine Ungleichung für k umsetzen. Dabei habe
> ich eine weitere Abkürzung benützt. Aufpassen
> muss man insbesondere darauf, bei welchen
> Umformungen bei einer Ungleichung aus einem
> [mm]\ge[/mm] ein [mm]\le[/mm] wird oder umgekehrt.
Okay, ich lande dann bei
[mm] \frac{1}{k} \ge\ [/mm] 1- [mm] \frac{1}{(\varepsilon+1)^2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] k [mm] \le \frac{1}{1-\frac{1}{(\varepsilon+1)^2}}
[/mm]
damit habe ich:
[mm] n=n(\varepsilon)=ceil\begin{pmatrix}\frac{1}{1-\frac{1}{(\varepsilon+1)^2}}\end{pmatrix}
[/mm]
Das müsste dann korrekt sein, zumindest bekomme ich für n auch 501
(Eigentlich würde ich das mit den unten offenen eckigen Klammern schreiben, aber die finde ich hier nicht, deshalb "ceil")
Allerdings weiß ich immernoch nicht wirklich, was ich davon habe. Kannst du mir das Verfahren vielleicht noch einmal in einfachen Worten erklären? :)
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> [...]
> > Die entstandene Ungleichung habe ich dann in
> > ein paar Schritten umgeformt zu:
> >
> > [mm]\ w\ \ge\ \frac{1}{1+\varepsilon}[/mm]
> >
> > Diese Ungl. kann man quadrieren und dann wieder
> > in eine Ungleichung für k umsetzen. Dabei habe
> > ich eine weitere Abkürzung benützt. Aufpassen
> > muss man insbesondere darauf, bei welchen
> > Umformungen bei einer Ungleichung aus einem
> > [mm]\ge[/mm] ein [mm]\le[/mm] wird oder umgekehrt.
> Okay, ich lande dann bei
> [mm]\frac{1}{k} \ge\[/mm] 1- [mm]\frac{1}{(\varepsilon+1)^2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> [mm]\gdw[/mm] k [mm]\le \frac{1}{1-\frac{1}{(\varepsilon+1)^2}}[/mm]
Da stimmen zwar die Terme auf der rechten Seite,
aber offenbar sind leider die Ungleichheitszeichen
schon vorher verunglückt. Eigentlich hättest du
merken können, dass etwas nicht stimmen kann,
denn wir erwarten doch zum Schluss eine Aussage
der Form
$\ k\ [mm] \ge\ [/mm] .......$
und nicht $\ k\ [mm] \le\ [/mm] .......$
> damit habe ich:
>
> [mm]n=n(\varepsilon)=ceil\begin{pmatrix}\frac{1}{1-\frac{1}{(\varepsilon+1)^2}}\end{pmatrix}[/mm]
>
> Das müsste dann korrekt sein, zumindest bekomme ich für n
> auch 501
> (Eigentlich würde ich das mit den unten offenen eckigen
> Klammern schreiben, aber die finde ich hier nicht, deshalb
> "ceil")
So geht's: [mm]n=n(\varepsilon)=\ \left\lceil \frac{1}{1-\frac{1}{(\varepsilon+1)^2}}\right\rceil[/mm]
> Allerdings weiß ich immernoch nicht wirklich, was ich
> davon habe. Kannst du mir das Verfahren vielleicht noch
> einmal in einfachen Worten erklären? :)
Eigentlich haben wir doch jetzt nur die gegebene
Ungleichung
$ [mm] \begin{vmatrix} \bruch{1}{\wurzel{1-1/k}}-1 \end{vmatrix}\ \le\ \varepsilon$
[/mm]
so umgeformt bzw. aufgelöst, dass wir am Schluss
zu einer Ungleichung gekommen sind, bei welcher
die Variable k auf der linken Seite allein steht.
Ganz analog zum Auflösen der entsprechenden
Gleichung
$ [mm] \begin{vmatrix} \bruch{1}{\wurzel{1-1/k}}-1 \end{vmatrix}\ [/mm] = \ [mm] \varepsilon [/mm] $
nach der Unbekannten k , falls [mm] \varepsilon [/mm] als konstanter
Wert vorgegeben ist.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Danke dir! Noch eine Frage: Was sagt mir zum Beispiel der
> Wert n=501 für ein [mm]\varepsilon=0,001[/mm] ?
Für jedes [mm] \epsilon>0, [/mm] welches ich dir gebe, kannst du nun ein [mm] N=N(\epsilon)\in\IN [/mm] angeben, sodass für alle [mm] $k\ge [/mm] N$ gilt:
[mm] |a_n-1|<\epsilon
[/mm]
Für [mm] \epsilon:=0,001>0 [/mm] gilt also die Ungleichung ab dem $501$-ten Folgenglied.
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Sa 04.01.2014 | | Autor: | jayw |
Vielen Dank euch beiden!
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