Bestimmung Kern und Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Di 11.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
| Aufgabe | Es sei V ein 3-dim. K-VR mit Basis [mm] (a_{1},a_{2},a_{3}) [/mm] und W ein 4-dim. K-VR mit Basis [mm] (b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}); [/mm] eine lineare Abbildung [mm] \Phi: [/mm] V [mm] \to [/mm] W sei gegeben durch
[mm] a_{1} \mapsto b_{1}+b_{2}
[/mm]
[mm] a_{2} \mapsto b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}
[/mm]
[mm] a_{3} \mapsto b_{3}+b_{4}
[/mm]
Man bestimme (durch Angabe von Basen) den Kern von [mm] \Phi [/mm] und das Bild von [mm] \Phi [/mm] |
Hallo!
Ich komme leider nicht ganz dahinter, was ich hier mit der Aufgabe machen soll ... wo beginne ich hier?
Ich denke doch mal, dass ich Basen suchen muss ... steht ja auch in der Aufgabe ... nur ich habe da ja keinerlei Vorgaben?!
Würde mich über Ansätze und Tipps freuen!
Liebe Grüße
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> Es sei V ein 3-dim. K-VR mit Basis [mm](a_{1},a_{2},a_{3})[/mm] und
> W ein 4-dim. K-VR mit Basis [mm](b_{1},b_{2},b_{3},b_{4});[/mm] eine
> lineare Abbildung [mm]\Phi:[/mm] V [mm]\to[/mm] W sei gegeben durch
>
> [mm]a_{1} \mapsto b_{1}+b_{2}[/mm]
> [mm]a_{2} \mapsto b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}[/mm]
>
> [mm]a_{3} \mapsto b_{3}+b_{4}[/mm]
>
> Man bestimme (durch Angabe von Basen) den Kern von [mm]\Phi[/mm] und
> das Bild von [mm]\Phi[/mm]
> Hallo!
> Ich komme leider nicht ganz dahinter, was ich hier mit der
> Aufgabe machen soll ... wo beginne ich hier?
> Ich denke doch mal, dass ich Basen suchen muss ... steht
> ja auch in der Aufgabe ... nur ich habe da ja keinerlei
> Vorgaben?!
> Würde mich über Ansätze und Tipps freuen!
Hallo,
da ich nicht genau weiß, wie weit Eure LA gediehen ist, gehe ich' mal hausbacken an.
Du solltest wissen, daß lineare Abbildungen durch die Angabe der Werte auf einer Basis eindeutig beschrieben sind.
Dies ist oben geschehen, es wurde [mm] \Phi(a_i) [/mm] mitgeteilt.
Aufgrund der Linearität von [mm] \phi [/mm] weißt Du nun, worauf jeder belibige Vektor abgebildet wird:
Sei v [mm] \in [/mm] V. Da [mm] (a_1, a_2, a_3) [/mm] eine Basis von V ist, gibt es [mm] \lambda_i\in [/mm] K mit [mm] v=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3.
[/mm]
Nun interessierst Du Dich für [mm] \Phi(v).
[/mm]
Es ist
[mm] \Phi(v)=\phi(\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3) [/mm] = ...
Verwende jetzt die Linearität von [mm] \phi [/mm] und sortiere am Ende so: ...= [mm] (...)b_1 +(...)b_2+(...)b_3 +.(...)b_4.
[/mm]
Damit sind die Vorbereitungen getroffen.
Wenn v [mm] \in Kern\phi, [/mm] so ist [mm] \Phi(v)=0.
[/mm]
Diese Gleichung mußt Du lösen, daraus erhältst Du, welche Gestalt die Elemente des Kerns haben.
Wenn das steht, können wir weitersehen und die Basis suchen.
Das Bild ist der Raum, der von den Bildern der Basis aufgespannt wird, also der von [mm] \Phi(a_1), \phi(a_2), \phi(a_3 [/mm] ) aufgespannte Raum.
Suchst Du eine Basis, so mußt Du hieraus eine maximale linear unabhängige Teilmenge herausangeln.
Falls Ihr schon die darstellenden Matrizen von linearen Abbildungen hattet, läßt sich alles erhblich beschleunigen durch Aufstellen der Matrix, die [mm] \Phi [/mm] bzgl der beiden Basen repräsentiert.
In diesem Falle stell die darstellende Matrix auf, bring sie auf Zeilenstufenform.
Bestimme Kern und Bild der Matrix, bei der Interpretation helfe ich Dir dann.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Mi 12.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
> Hallo,
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> da ich nicht genau weiß, wie weit Eure LA gediehen ist,
> gehe ich' mal hausbacken an.
>
> Du solltest wissen, daß lineare Abbildungen durch die
> Angabe der Werte auf einer Basis eindeutig beschrieben
> sind.
>
> Dies ist oben geschehen, es wurde [mm]\Phi(a_i)[/mm] mitgeteilt.
>
> Aufgrund der Linearität von [mm]\phi[/mm] weißt Du nun, worauf jeder
> belibige Vektor abgebildet wird:
>
> Sei v [mm]\in[/mm] V. Da [mm](a_1, a_2, a_3)[/mm] eine Basis von V ist, gibt
> es [mm]\lambda_i\in[/mm] K mit
> [mm]v=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3.[/mm]
>
> Nun interessierst Du Dich für [mm]\Phi(v).[/mm]
>
> Es ist
>
> [mm]\Phi(v)=\phi(\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3)[/mm] = ...
>
>
> Verwende jetzt die Linearität von [mm]\phi[/mm] und sortiere am Ende
> so: ...= [mm](...)b_1 +(...)b_2+(...)b_3 +.(...)b_4.[/mm]
>
> Damit sind die Vorbereitungen getroffen.
Wenn ich dich richtig verstehe heißt das:
[mm] \Phi(v)=\Phi(\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3)=\lambda_1(b_1+b_2)+\lambda_2(b_1+b_2+b_3+b_4)+\lambda_3(b_3+b_4)=(\lambda_1+\lambda_2)b_1+(\lambda_1+\lambda_2)b_2+(\lambda_2+\lambda_3)b_3+(\lambda_2+\lambda_3)b_4
[/mm]
[mm] (\lambda_1+\lambda_2)b_1+(\lambda_1+\lambda_2)b_2+(\lambda_2+\lambda_3)b_3+(\lambda_2+\lambda_3)b_4=0
[/mm]
Nur schein ich nun etwas nicht zu sehen, was mir weiterhilft :/
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Mi 12.11.2008 | | Autor: | statler |
> > Hallo,
> >
> > da ich nicht genau weiß, wie weit Eure LA gediehen ist,
> > gehe ich' mal hausbacken an.
> >
> > Du solltest wissen, daß lineare Abbildungen durch die
> > Angabe der Werte auf einer Basis eindeutig beschrieben
> > sind.
> >
> > Dies ist oben geschehen, es wurde [mm]\Phi(a_i)[/mm] mitgeteilt.
> >
> > Aufgrund der Linearität von [mm]\phi[/mm] weißt Du nun, worauf jeder
> > belibige Vektor abgebildet wird:
> >
> > Sei v [mm]\in[/mm] V. Da [mm](a_1, a_2, a_3)[/mm] eine Basis von V ist, gibt
> > es [mm]\lambda_i\in[/mm] K mit
> > [mm]v=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3.[/mm]
> >
> > Nun interessierst Du Dich für [mm]\Phi(v).[/mm]
> >
> > Es ist
> >
> > [mm]\Phi(v)=\phi(\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3)[/mm] = ...
> >
> >
> > Verwende jetzt die Linearität von [mm]\phi[/mm] und sortiere am Ende
> > so: ...= [mm](...)b_1 +(...)b_2+(...)b_3 +.(...)b_4.[/mm]
> >
> > Damit sind die Vorbereitungen getroffen.
>
>
>
> Wenn ich dich richtig verstehe heißt das:
>
> [mm]\Phi(v)=\Phi(\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\lambda_3a_3)=\lambda_1(b_1+b_2)+\lambda_2(b_1+b_2+b_3+b_4)+\lambda_3(b_3+b_4)=(\lambda_1+\lambda_2)b_1+(\lambda_1+\lambda_2)b_2+(\lambda_2+\lambda_3)b_3+(\lambda_2+\lambda_3)b_4[/mm]
>
> [mm](\lambda_1+\lambda_2)b_1+(\lambda_1+\lambda_2)b_2+(\lambda_2+\lambda_3)b_3+(\lambda_2+\lambda_3)b_4=0[/mm]
>
> Nur schein ich nun etwas nicht zu sehen, was mir
> weiterhilft :/
Hi, dann vertrete ich Angela mal ganz kurz: Die [mm] b_i [/mm] sollen eine Basis bilden, sind also insbesondere linear unabhängig; daraus kannst du folgern ('sehen'), daß die Koeffizienten = 0 sein müssen.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mi 12.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
das heißt ja dann, dass die Basis folgendendermaßen aussieht: [mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Mi 12.11.2008 | | Autor: | statler |
> das heißt ja dann, dass die Basis folgendendermaßen
> aussieht: [mm]\vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 0}?[/mm]
Um Gottes Willen, das heißt es überhaupt nicht! Es muß [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] -\lambda_2 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] -\lambda_3 [/mm] sein. Also sieht ein allgemeiner Vektor im Kern so aus: [mm] \lambda*a_1 [/mm] - [mm] \lambda*a_2 [/mm] + [mm] \lambda*a_3.
[/mm]
Nächster Versuch bitte
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Mi 12.11.2008 | | Autor: | SirSmoke |
tut mir leid, aber ich bin mittlerweile komplett verwirrt und trete nur auf der Stelle ... :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Mi 12.11.2008 | | Autor: | statler |
> tut mir leid, aber ich bin mittlerweile komplett verwirrt
> und trete nur auf der Stelle ... :/
Joijoijoi, also erst mal tief durchatmen...
Der Kern ist ein UVR von V, als solcher hat jeder Vektor im Kern eine Darstellung als Linearkombination der [mm]a_i[/mm]'s. Die ist nicht so völlig beliebig, sondern hat eine bestimmte Gestalt, die ich dir hingeschrieben habe. Nun gilt es, eine Basis zu finden. Dazu könntest du erstmal überhaupt einen linear unabhängigen Vektor im Kern suchen und finden. Das sollte dir gelingen, und dann machen wir weiter.
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mi 12.11.2008 | | Autor: | blubb_ |
Hi,
ich misch mich hier mal ganz kur ein ;)
Der Kern ist ja [mm] \lambda*(a_{1}-a_{2}-a_{3})
[/mm]
Folgt daraus, dass [mm] \{a_{1}, -a_{2}, -a_{3} \} [/mm] die Basis des Kerns bildet?
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> Hi,
> ich misch mich hier mal ganz kur ein ;)
> Der Kern ist ja [mm]\lambda*(a_{1}-a_{2}-a_{3})[/mm]
Hallo,
jedes Element des Kerns ist von der von Dir beschriebenen Machart, also ein Vielfaches des Vektors [mm] a_{1}-a_{2}-a_{3}.
[/mm]
[mm] Kern\phi=\{ \lambda*(a_{1}-a_{2}-a_{3}) | \lambda\in K\}.
[/mm]
>
> Folgt daraus, dass [mm]\{a_{1}, -a_{2}, -a_{3} \}[/mm] die Basis des
> Kerns bildet?
Nein. Das Vielfache eines welchen Vektors sind alle Elemente von [mm] Kern\phi? [/mm] Also ist der Kern die Lineare Hülle/das Erzeugnis/der Span wovon?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mi 12.11.2008 | | Autor: | blubb_ |
Wenn ich dich richtig verstehe würde die Basis dann ja nur au einem Vektor bestehen, also [mm] \vektor{a_{1}-a_{2}-a_{3}} [/mm] ?
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N'abend,
also ich hab für den Kern nun [mm] (b_{1},-b_{1},-b_{4},b_{4}) [/mm] als ergebnis, kann das sein?
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> N'abend,
>
> also ich hab für den Kern nun [mm](b_{1},-b_{1},-b_{4},b_{4})[/mm]
> als ergebnis, kann das sein?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nein, das kann aus einem ganzen Strauß von Gründen nicht der Fall sein.
Mach Dir zunächst klar, daß der Kern eine Teilmenge des Definitionsbereiches von [mm] \phi [/mm] ist, also von V. Da wir mit der Basis [mm] (a_1, a_2, a_3) [/mm] arbeiten, kann es nicht anders sein, als daß wir die Basis des Kerns als Linearkombination von [mm] (a_1, a_2, a_3) [/mm] bekommen.
Die von Dir angegebene Menge von Vektoren hingegen ist eine Teilmenge der Zielmenge, also von W.
Mal ganz abgesehen davon kann [mm] (b_{1},-b_{1},-b_{4},b_{4}) [/mm] aber sowieso keine Basis von irgendwas sein, denn die Vektoren [mm] b_1 [/mm] und [mm] -b_1 [/mm] sind ja offensichtlich linear abhängig.
Ich habe die Befürchtung, daß Du die Angabe [mm] "(b_1, b_2, b_3, b_4) [/mm] ist eine Basis von W" komplett mißverstanden hast: das ist kein(!) Spaltenvektor mit 4 Einträgen, sondern das sind 4 Vektoren des Vektorraumes W, die dort nebeneinanderstehen.
Wenn Du mal vorrechnest, was Du getan hast, kann man Dir vielleicht helfen. Wenn#s falsch ist, ist das nicht so schlimm, es geht ja daraum, die Stelle des Mißverständnisses aufzuspüren.
Gruß v. Angela
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> Wenn ich dich richtig verstehe würde die Basis dann ja nur
> au einem Vektor bestehen, also [mm]\vektor{a_{1}-a_{2}-a_{3}}[/mm]
> ?
Hallo,
ja, so ist es.
Du kannst Dich ja rechnend mal davon überzeugen, daß jeder Vektor der Gestalt [mm] \lambda*(a_{1}-a_{2}-a_{3}) [/mm] auf die Null abgebildet wird.
Gruß v. Angela
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