Bestimmung aller lokalen Extr. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man bestimme alle lokalen Extrema der Funktion f(x, y) := 2x³ + xy² + 6x² + y² und gebe ihren Typ an. |
Hallo liebe Forengemeinde,
ich stehe kurz vor meiner zweiten "Grundlagen der Mathematik"-Klausur und stehe dieser Aufgabe etwas unsicher gegenüber, da ich nicht genau weiß, wie ich diese zu bewältigen habe.
Mir schwirren zwar Begriffe wie "Hesse-Matrix" und "stationäre Punkte" im Kopf herum, jedoch bin ich mir - wie gesagt - nicht sicher, wie die richtige Vorgehensweise ist.
Mein erster Ansatz war der folgende:
Ich leite die Funktion zweimal auf unterschiedliche Weise ab:
Zunächst nach "x" ...
f'(x) = 6x² + y² + 12x
... und dann mit "y"
f'(y) = 2xy + 2y
Nun habe ich zuerst folgende Gleichung aufgelöst:
2xy + 2y = 0
[mm] \gdw [/mm] 2y (x + 1) = 0
Erhalte also y = 0 / x = -1 als mögliche Nullstellen der Funktion.
Mit diesem y habe ich mich an die erste Funktion gemacht:
6x² + 12x = 0
[mm] \gdw [/mm] 6x (x+2) = 0
Das ergibt dann x = 0 oder x = -2
Wie läuft es jetzt weiter?
Sind (0,0), (-2,0) und (-1, 0) schon meine stationären Punkte?
Ich danke euch für eure Hilfe.
Und:
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Man bestimme alle lokalen Extrema der Funktion f(x, y) :=
> 2x³ + xy² + 6x² + y² und gebe ihren Typ an.
> Mein erster Ansatz war der folgende:
>
> Ich leite die Funktion zweimal auf unterschiedliche Weise
> ab:
Hallo,
der richtige gedanke, völlig falsch formuliert...
Man bestimmt zunächst den Gradienten der Funktion.
Hierzu sind die partiellen Ableitungen nach x und y zu bilden.
>
> Zunächst nach "x" ...
> [s]f'(x)/s] [mm] \bruch{df}{dx}(x,y) [/mm] = 6x² + y² + 12x
>
> ... und dann mit "y"
> [s]f'(y)/s] [mm] \bruch{df}{dy}(x,y) [/mm] = 2xy + 2y
>
> Nun habe ich zuerst folgende Gleichung aufgelöst:
Nun berechnet man die kritischen Punkte, indem man ermittelt, für welche (x,y) der Gradient Null wird.
Es ist also das GS
6x² + y² + 12x=0
2xy + 2y=0
zu lösen.
> 2xy + 2y = 0
> [mm]\gdw[/mm] 2y (x + 1) = 0
>
> Erhalte also y = 0 / (*) x = -1 als mögliche Nullstellen der
> Funktion.
>
> Mit diesem y habe ich mich an die erste Funktion gemacht:
>
> 6x² + 12x = 0
> [mm]\gdw[/mm] 6x (x+2) = 0
>
> Das ergibt dann x = 0 oder x = -2
Hieraus erhält man (0,0) und (-2,0) als kritische Punkte.
Nun ist noch der Fall (*) x = -1 zu untersuchen.
Setze hierfür in die erste Gleichung ein und erhalte
6 + y² - 12=0
==> erhältst du zwei weitere kritische Punkte, nämlich (-1,...) und (-1,...).
Dann stellst Du die Hessematrix (Zutaten: die 2.partiellen Ableitungen) auf, setzt jeweils Deinen kritischen Punkt ein und prüftst die Definitheit.
Gruß v. Angela
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Also habe ich folgende kritische Punkte:
(0/0), (2/0), [mm] (-1/\wurzel[2]{6}), (-1/-\wurzel[2]{6})
[/mm]
Die Hesse Matrix ergibt sich jetzt als Ableitung aus den beiden oben genannten Funktionen (f'(x) und f'(y)):
[mm] \pmat{ 12x + 12 & 2y \\ 2y & 2x + 2 }
[/mm]
In diese Hesse Matrix setze ich jetzt die gefundenen Punkte Punkte ein:
1) (0 / 0) eingesetzt: [mm] \pmat{ 12 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
2) (-2 / 0) eingesetzt: [mm] \pmat{ -12 & 0 \\ 0 & -2 }
[/mm]
3) (-1 / [mm] \wurzel[2]{6}) [/mm] eingesetzt: [mm] \pmat{ 0 & 2*\wurzel[2]{6} \\ 2*\wurzel[2]{6} & 0 }
[/mm]
4) (-1 / [mm] -\wurzel[2]{6}) [/mm] eingesetzt: [mm] \pmat{ 0 & -2*\wurzel[2]{6} \\ -2*\wurzel[2]{6} & 0 }
[/mm]
Nun da ich diese Matrizen habe bestimme ich die Determinanten. Wenn diese < 0 sind, so habe Sattelpunkte, sind sie größer 0 so handelt es sich um ein Extrema. Richtig? Hoffentlich :)
1: 12 * 2 = 24 > 0 : Lokales Minimum
2: -12 * -2 = 24> 0 : Lokales Maximum
3: -4 * 6 = -24 < 0 : Sattelpunkt
4: -4 * -6 = 24 > 0 : Lokales Maximum
Richtig so weit?
Ich danke dir auf jeden Fall :)
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> Also habe ich folgende kritische Punkte:
>
> (0/0), (2/0), [mm](-1/\wurzel[2]{6}), (-1/-\wurzel[2]{6})[/mm]
>
> Die Hesse Matrix ergibt sich jetzt als Ableitung aus den
> beiden oben genannten Funktionen (f'(x) und f'(y)):
>
> [mm]\pmat{ 12x + 12 & 2y \\ 2y & 2x + 2 }[/mm]
>
> In diese Hesse Matrix setze ich jetzt die gefundenen Punkte
> Punkte ein:
>
> 1) (0 / 0) eingesetzt: [mm]\pmat{ 12 & 0 \\ 0 & 2 }[/mm]
>
> 2) (-2 / 0) eingesetzt: [mm]\pmat{ -12 & 0 \\ 0 & -2 }[/mm]
>
> 3) (-1 / [mm]\wurzel[2]{6})[/mm] eingesetzt: [mm]\pmat{ 0 & 2*\wurzel[2]{6} \\ 2*\wurzel[2]{6} & 0 }[/mm]
>
> 4) (-1 / [mm]-\wurzel[2]{6})[/mm] eingesetzt: [mm]\pmat{ 0 & -2*\wurzel[2]{6} \\ -2*\wurzel[2]{6} & 0 }[/mm]
>
> Nun da ich diese Matrizen habe bestimme ich die
> Determinanten. Wenn diese < 0 sind, so habe Sattelpunkte,
> sind sie größer 0 so handelt es sich um ein Extrema.
> Richtig? Hoffentlich :)
>
>
> 1: 12 * 2 = 24 > 0 : Lokales Minimum
> 2: -12 * -2 = 24> 0 : Lokales Maximum
> 3: -4 * 6 = -24 < 0 : Sattelpunkt
> 4: -4 * -6 = 24 > 0 : Lokales Maximum
>
> Richtig so weit?
>
Fast richtig: die 4. Determinante ist auch <0.
Gruß v. Angela
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