Bestimmung der Dimension < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Do 27.11.2008 | | Autor: | ereger |
| Aufgabe | Es sei [mm] K={\lambda = a+\wurzel{2b} ; a,b \in \IQ }.
[/mm]
i) Zeigen Sie: K ist ein Körper.
ii)Welche Dimension hat [mm] K^{n} [/mm] als Vektorraum über K?
iii)Welche Dimension hat [mm] K^{n} [/mm] als Vektorraum über [mm] \IQ [/mm] ?
iv)Welche Dimension besitzt der [mm] R^{n} [/mm] als Vektorraum über [mm] \IQ [/mm] ? |
Hallo an alle Mathematiker!
Ich habe die Schwierigkeitet zu verstehen was von mir in dieser aufgabe verlangt ist.
i) Ist klar nur nach Körperaxiomen nachrechen und zeigen dass es ein Körper ist.
Nun weiter verstehe ich nicht.
ii)Wie ich es verstehe: dann ist [mm] K^{n} [/mm] ein Vektorraum über sich selbst.?
Dann ist die dim=n?
iii)Hier habe ich idee aus [mm] \IQ [/mm] Vektoren zu nehmen und aus vorgegebenen K nach dargestellter Vorschrift die [mm] \lambda [/mm] s und nach der Basis suchen: Anzahl von meinen Basisvektoren = dimension.
iv)Diese teilaufgabe stelle ich mir gar nicht vor.
Für jegliche Hilfe würde ich Euch sehr dankbar!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei [mm]K={\lambda = a+\wurzel{2b} ; a,b \in \IQ }.[/mm]
> i)
> Zeigen Sie: K ist ein Körper.
> ii)Welche Dimension hat [mm]K^{n}[/mm] als Vektorraum über K?
> iii)Welche Dimension hat [mm]K^{n}[/mm] als Vektorraum über [mm]\IQ[/mm] ?
> iv)Welche Dimension besitzt der [mm]R^{n}[/mm] als Vektorraum über
> [mm]\IQ[/mm] ?
> Hallo an alle Mathematiker!
>
> Ich habe die Schwierigkeitet zu verstehen was von mir in
> dieser aufgabe verlangt ist.
>
> i) Ist klar nur nach Körperaxiomen nachrechen und zeigen
> dass es ein Körper ist.
Hallo,
das kannst Du noch beschleunigen, wenn Du Dir klarmachst, daß es ein Teilkörper von [mm] \IR [/mm] ist.
>
> Nun weiter verstehe ich nicht.
> ii)Wie ich es verstehe: dann ist [mm]K^{n}[/mm] ein Vektorraum über
> sich selbst.?
> Dann ist die dim=n?
Ja. Sag doch mal eine Basis.
> iii)Hier habe ich idee aus [mm]\IQ[/mm] Vektoren zu nehmen und aus
> vorgegebenen K nach dargestellter Vorschrift die [mm]\lambda[/mm] s
> und nach der Basis suchen: Anzahl von meinen Basisvektoren
> = dimension.
Hier sind Deine Vektoren wie zuvor Spalten mit Einträgen aus K, [mm] K^n [/mm] eben.
Die stehen jetzt, weil Du das über dem Körper [mm] \IQ [/mm] betrachten sollst, zum Multiplizieren aber nur rationale zahlen zur Vefügung und nicht die Elemente aus K.
Das wirkt sich auf die Dimension des VRes aus. Mit der basis aus der vorhergehenden Teilaufgabe kommst u nicht aus.
> iv)Diese teilaufgabe stelle ich mir gar nicht vor.
Der [mm] \IR^n [/mm] als VR über [mm] \IR [/mm] sollte Dir wohlbekannt sein. Steht Dir zum Multiplizieren nun nur noch [mm] \IQ [/mm] zur Verfügung, so reicht die Standardbasis des [mm] \IR^n [/mm] über [mm] \IR [/mm] als Erzeugendensystemn icht mehr aus - und somit auch nicht als Basis.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Sa 29.11.2008 | | Autor: | ereger |
Danke Angela,
Wenn ich dich richtig verstanden habe, soll die Überlegung folgendermaßen aussehen:
zu i) da das K [mm] \subset \IQ [/mm] und [mm] \IQ \subset \IR [/mm] folgt dass auch K ein Teilkörper in [mm] \IR [/mm] ist. Beweis ist wesentlich kürzer!!!
zu ii) Hier habe ich die dimension von K herausgefunden, und zwar da
[mm] \lambda [/mm] = a [mm] +\wurzel{2b} [/mm] , so ist Basis = [mm] {1,\wurzel{2}}, [/mm] oder?
da jedes lambda dadurch als Linearkombination schreiben lässt.
zu [mm] iii)dim_{\IQ}(K^{n}) [/mm] = n*2 da [mm] \IQ [/mm] einen Basis wie in ii) hat und [mm] \IQ [/mm] ist n dimensional, somit 2*n.
zu iv)dann ist die dimension [mm] \IR^{n} [/mm] = [mm] \infty [/mm] ?
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> Danke Angela,
> Wenn ich dich richtig verstanden habe, soll die Überlegung
> folgendermaßen aussehen:
> zu i) da das K [mm]\subset \IQ[/mm]
Hallo,
nein, [mm] \IQ \subset [/mm] K, und [mm] K\subset \IR
[/mm]
> und [mm]\IQ \subset \IR[/mm] folgt dass
> auch K ein Teilkörper in [mm]\IR[/mm] ist. Beweis ist wesentlich
> kürzer!!!
Ja.
> zu ii) Hier habe ich die dimension von K herausgefunden,
> und zwar da
> [mm]\lambda[/mm] = a [mm]+\wurzel{2b}[/mm] , so ist Basis = [mm]{1,\wurzel{2}},[/mm]
> oder?
> da jedes lambda dadurch als Linearkombination schreiben
> lässt.
Genau.
> zu [mm]iii)dim_{\IQ}(K^{n})[/mm] = n*2
Ja.
> da [mm]\IQ[/mm] einen Basis wie in
??? Wieso [mm] \IQ? [/mm]
> einen Basis wie in
> ii) hat und [mm]\IQ[/mm] ist n dimensional, somit 2*n.
Die Begründung ist sehr, sehr kraus, aber ich glaube trotzdem, daß Du Dir das Richtige überlegt hast.
> zu iv)dann ist die dimension [mm]\IR^{n}[/mm] = [mm]\infty[/mm] ?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Sa 29.11.2008 | | Autor: | ereger |
Vielen Dank Angela.
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