Bestimmung der Likelihood-Fkt. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich schlage mich gerade mit der Maximum-Likelihood-Schätzung herum und ich frage mich noch, wie man die zu minimierende Likelihood-Funktion bestimmt.
Bei der Wikipedia gibt es ein Beispiel unter:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Maximum_Likelihood
Im Beispiel geht es um Kugeln aus einer Urne und dann steht da einfach "die zugehörige Likelihood-Funktion lautet...". Aber wie kommt man auf diese Funktion?
Ich glaube ich stehe da im Moment etwas auf dem Schlauch!
Über einen kurzen Hinweis wäre ich sehr dankbar.
Beste Grüße...
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?t=68781
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Di 04.07.2006 | | Autor: | Walde |
hi rookeenator,
weiter oben in dem Wikipediaeintrag, steht
[mm] L(q)=\produkt_{i=1}^{n}f_{X_i}(x_i,q),
[/mm]
falls [mm] X_i \quad i=1\ldots [/mm] n identisch verteilte, unabhängige ZV sind, [mm] f_{X_i} [/mm] ihre jeweilige Wahrscheinlichkeitsfunktion, q der Paramter von dem die [mm] f_{X_i} [/mm] abhängen und die [mm] x_i [/mm] die Realisationen der Stichprobe. Für das Beispiel mit den Kugeln bedeutet das:
[mm] X_i=1 [/mm] falls im i-ten Zug aus der Urne eine rote Kugel gezogen wirdm sonst 0.
Die Realisationen sind (alles aus dem Beispiel) es wird n=4 mal mit Zurücklegen gezogen.
[mm] x_1=1
[/mm]
[mm] x_2=1
[/mm]
[mm] x_3=0
[/mm]
[mm] x_4=1
[/mm]
[mm] P(X_1=1)=P(X_3=1)=P(X_4=1)=f_{X_{1,2,3}}(1,q)=\bruch{M}{N}, [/mm] wobei M die absolute Häufigkeit der roten Kugeln in der Urne (mit Insgesamtanzahl der Kugeln N) ist. Diese relative Häufigkeit [mm] \bruch{M}{N}, [/mm] nennen wir p und sie entspricht dem Parameter q von dem die W'keitsfunktion f abhängt. Je nachem wie p sich ändert, wird f, also auch L sich später verändern und soll maximiert werden.
Ich gebe zu, die Bezeichnungen in dem Beispiel sind etwas verwirrend gewählt.
[mm] P(X_2=0)=f_{X_2}(0,q)=\bruch{N-M}{N} [/mm]
Das ist der N-M ist die Anzahl schwarzer Kugeln in der Urne. Die relative Häufigkeit ist [mm] \bruch{N-M}{N}=1-\bruch{M}{N}=1-p
[/mm]
So, jetzt nur doch in die Formel von L(q) einsetzen:
[mm] L(q)=\produkt_{i=1}^{n}f_{X_i}(x_i,q)=f_{X_1}(x_1,q)*f_{X_2}(x_2,q)*f_{X_3}(x_3,q)*f_{X_4}(x_4,q)=p*p*(1-p)*p=p^3*(1-p)
[/mm]
Klar geworden?
L G walde
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Vielen vielen Dank für die sehr ausführliche Erklärung!!! Mir fehlt halt ein Großteil des stochastischen Backgrounds, sonst hätte man ja auch selbst drauf kommen können!
Aber jetzt hab ich es auch verstanden... :) Nochmal vielen Dank!
Beste Grüße,
rookeenator
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