Bestimmung der Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mo 18.04.2011 | | Autor: | j3ssi |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Taylorreihe um $x=0$ für die folgenden Funktionen
(a) [mm] $f(x)=\wurzel{1+x^2}$
[/mm]
(b) [mm] $f(x)=log(\bruch{1+x}{1-x})$ [/mm] |
Zu (a) hab die Funktion 6 mal abgeleitet um ein Muster für die k-te Ableitung mit $k [mm] \in \IN [/mm] $ zu finden.
[mm] $f'(x)=\bruch{x}{(1 + x^2)^{1/2}}$
[/mm]
$f''(x)= [mm] \bruch{1}{(1 + x^2)^{3/2}}$
[/mm]
$f'''(x)= [mm] \bruch{-3 x}{(1 + x^2)^{5/2}}$
[/mm]
[mm] $f^{4}(x)=\bruch{3 (-1 + 4 x^2)}{(1 + x^2)^{7/2}}$
[/mm]
[mm] $f^{5}(x)=\bruch{45 x - 60 x^3}{(1 + x^2)^{9/2}}$
[/mm]
[mm] $f^{6}(x)=\bruch{45 (1 - 12 x^2 + 8 x^4)}{(1 + x^2)^{11/2}}$
[/mm]
Hab schon einiges ausprobiert um da drin eine gesetzmässigkeit für x=0 zu finden. Bisher weiss ich nur dass die geraden Ableitung an der Stelle x=0 immer 0 sind und das bei den ungeraden nur der Zähler eine Rolle spielt. Gibt es hier irgendeinen Trick um Gesetzmässigkeiten bzw regelmässigkeiten zu finden?
Danke im Vorraus für die Hilfe
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Hallo j3ssi,
> Bestimmen Sie die Taylorreihe um [mm]x=0[/mm] für die folgenden
> Funktionen
> (a) [mm]f(x)=\wurzel{1+x^2}[/mm]
> (b) [mm]f(x)=log(\bruch{1+x}{1-x})[/mm]
> Zu (a) hab die Funktion 6 mal abgeleitet um ein Muster
> für die k-te Ableitung mit [mm]k \in \IN[/mm] zu finden.
>
> [mm]f'(x)=\bruch{x}{(1 + x^2)^{1/2}}[/mm]
> [mm]f''(x)= \bruch{1}{(1 + x^2)^{3/2}}[/mm]
>
> [mm]f'''(x)= \bruch{-3 x}{(1 + x^2)^{5/2}}[/mm]
> [mm]f^{4}(x)=\bruch{3 (-1 + 4 x^2)}{(1 + x^2)^{7/2}}[/mm]
>
> [mm]f^{5}(x)=\bruch{45 x - 60 x^3}{(1 + x^2)^{9/2}}[/mm]
>
> [mm]f^{6}(x)=\bruch{45 (1 - 12 x^2 + 8 x^4)}{(1 + x^2)^{11/2}}[/mm]
>
> Hab schon einiges ausprobiert um da drin eine
> gesetzmässigkeit für x=0 zu finden. Bisher weiss ich nur
> dass die geraden Ableitung an der Stelle x=0 immer 0 sind
Hier meinst Du doch bestimmt, daß die geraden Ableitungen
an der Stelle x=0 nicht verschwinden.
> und das bei den ungeraden nur der Zähler eine Rolle
> spielt. Gibt es hier irgendeinen Trick um
> Gesetzmässigkeiten bzw regelmässigkeiten zu finden?
Es gilt doch:
[mm]f''\left(0\right)=1[/mm]
[mm]f^{\left(4\right)}\left(0\right)=-\left(1*3\right)[/mm]
[mm]f^{\left(6\right)}\left(0\right)=+\left(1*3\right)*\left(3*5\right)[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm]f^{\left(2k\right)}\left(0\right)=\left(-1\right)^{k+1}* \ ...[/mm]
>
> Danke im Vorraus für die Hilfe
Gruss
MathePower
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